Розглянемо, наприклад, електричний коливальний контур з активним опором:
На відміну від раніше розглянутого ідеального контуру наявність опору забезпечує втрати електромагнітної енергії в контурі, що веде до загасання коливань. Закон Ома для контуру 1-L-R-2 запишеться наступним чином (позначення ті ж, що і раніше):
Зробивши в цьому рівнянні ті ж підстановки, одержимо:
Рішенням канонічного диференціального рівняння затухаючих коливань величини x є:
У цьому рівнянні: - амплітуда згасаючих коливань; j0 - початкова амплітуда; - циклічна частота згасаючих коливань (слово "циклічна" будемо для стислості зазвичай опускати, коли і так ясно, про яку частоті йдеться). Період затухаючих коливань T = 2p / w.
Затухаючі коливання формально не потрапляють під визначення періодичних коливань, - кожне наступне коливання не в точності повторює попереднє (див. Графік). Тому - знову ж формально - не можна користуватися поняттями, введеними для періодичних коливань (частота, період). Щоб обійти цю логічну неув'язку, w і T визначають як умовну частоту і умовний період, а потім про "умовні" слова тут же забувають.
подивитися коливання хвилі на осцилографі
Частота згасаючих коливань, зрозуміло, не може бути негативною, тому формули для x і w справедливі при b
Коливальний контур - осцилятор, який представляє собою електричну ланцюг, що містить з'єднані котушку індуктивності і конденсатор. В такому колі можуть возбуждатьсяколебанія струму (і напруги).
Коливальний контур - найпростіша система, в якій можуть відбуватися вільні електромагнітні коливання
Резонансна частота контура визначається так званої формулою Томсона:
Нехай конденсатор ємністю C заряджений до напруги. Енергія, запасені в конденсаторі становить
При з'єднанні конденсатора з котушкою індуктивності, в ланцюзі потече струм. що викличе в котушці електрорушійну силу (ЕРС) самоіндукції, спрямовану на зменшення струму в ланцюзі. Струм, викликаний цією ЕРС (при відсутності втрат в індуктивності) в початковий момент буде дорівнює струму розряду конденсатора, тобто результуючий струм буде дорівнює нулю. Магнітна енергія котушки в цей (початковий) момент дорівнює нулю.
Потім результуючий струм в ланцюзі буде зростати, а енергія з конденсатора буде переходити в котушку до повного розряду конденсатора. У цей момент електрична енергія конденсатора. Магнітна ж енергія, зосереджена в котушці, навпаки, максимальна і дорівнює
. де - індуктивність котушки, - максимальне значення струму.
Після цього почнеться перезарядка конденсатора, тобто заряд конденсатора напругою іншої полярності. Перезарядка буде проходити до тих пір, поки магнітна енергія, котушки не перейде в електричну енергію конденсатора. Конденсатор, в цьому випадку, знову буде заряджений до напруги.
В результаті в ланцюзі виникають коливання, тривалість яких буде обернено пропорційна втратам енергії в контурі.
Загалом, описані вище процеси в паралельному коливальному контурі називаються резонанс струмів, що означає, що через індуктивність іёмкость протікають струми, більше струму що проходить через весь контур, причому ці струми більше в певне число разів, яке називаетсядобротностью. Ці великі струми не покидають меж контура, так як вони противофазно і самі себе компенсують. Варто також зауважити, що опір паралельного коливального контуру на резонансній частоті прямує до нескінченності (на відміну від послідовного коливального контуру, опір якого на резонансній частоті прагне до нуля), а це робить його незамінним фільтром.
Варто зауважити, що крім простого коливального контуру, є ще коливальні контури першого, другого і третього роду, що враховують втрати і мають інші особливості.
Магнітний потік - потік як інтеграл вектора магнітної індукції через кінцеву поверхню. Визначається через інтеграл по поверхні
при цьому векторний елемент площі поверхні визначається як
де - одиничний вектор, нормальний до поверхні.
Також магнітний потік можна розрахувати як скалярний твір вектора магнітної індукції на вектор площі:
де # 945; - кут між вектором магнітної індукції і нормаллю до площини площі.
Магнітний потік через контур також можна виразити через циркуляцію векторного потенціалу магнітного поля з цього контуру:
Розглянемо контур зі струмом, утворений нерухомими проводами і ковзної по ним рухомий перемичкою довжиною l (рис. 2.17). Цей контур знаходиться в зовнішньому магнітному полі. перпендикулярному до площини контуру. При показаному на малюнку напрямку струму I. вектор сонаправлени с.
На елемент струму I (рухливий провід) довжиною l діє сила Ампера, спрямована вправо:
Нехай провідник l переміститься паралельно самому собі на відстань dx. При цьому здійсниться робота:
Робота, що здійснюється провідником зі струмом при переміщенні, чисельно дорівнює добутку струму на магнітний потік. пересічений цим провідником.
Формула залишається справедливою, якщо провідник будь-якої форми рухається під будь-яким кутом до ліній вектора магнітної індукції.
Виведемо вираз для роботи з переміщення замкнутого контуру зі струмом в магнітному полі.
Розглянемо прямокутний контур з струмом 1-2-3-4-1 (рис. 2.18). Магнітне поле направлено від нас перпендикулярно площині контуру. Магнітний потік. пронизливий контур, спрямований по нормалі до контуру, тому.
Перемістимо цей контур паралельно самому собі в нове положення 1 '-2'-3' 4'-1 '. Магнітне поле в загальному випадку може бути неоднорідним і новий контур буде пронизаний магнітним потоком.
Майданчик 4-3-2'-1 '-4, розташована між старим і новим контуром, пронизує потоком.
Повна робота по переміщенню контура в магнітному полі дорівнює алгебраїчній сумі робіт, що здійснюються при переміщенні кожної з чотирьох сторін контуру:
де, дорівнюють нулю, тому що ці сторони не перетинають магнітного потоку, при своєму переміщення (окреслюють нульову майданчик).
.
Провід 1-2 перерізає потік (), але рухається проти сил дії магнітного поля.
.
Тоді загальна робота по переміщенню контура