Вільні незгасаючі коливання в коливальному контурі.
Коливальний контур - це електричний ланцюг, що складається з послідовно включених котушки індуктивністю L, конденсатора ємністю C і резистора опором R.
Розглянемо послідовні стадії коливального процесу в ідеальному контурі з дуже незначним опором (R = 0).
Конденсатор попередньо заряджають, на його обкладках заряд. Тоді в початковий момент часу між обкладинками виникає електричне поле, енергія якого. Якщо конденсатор замкнути на котушку індуктивності, то він почне розряджатися, і в контурі потече зростаючий з часом струм I. Енергія електричного поля конденсатора зменшується, а енергія магнітного поля котушки зростає. Зростаючий згодом струм створює в котушці зростаюче магнітне поле, а, отже, і зростаючий магнітний потік. Значить, за законом електромагнітної індукції Фарадея, в котушці виникає індукційний струм, який спрямований назустріч току розрядки конденсатора і уповільнює його зростання. Оскільки R = 0. то за законом збереження енергії повна енергія системи залишається постійною, тому що на нагрівання енергії не витрачається:
Коли струм котушки має максимальне значення, конденсатор повністю розряджений. У цей момент енергія магнітного поля максимальна, а електричного поля мінімальна. Далі, досягнувши максимального значення, струм в контурі починає зменшуватися, отже, зменшується магнітне поле котушки. У ній виникає індукційний струм, який тече в тому ж напрямку, що і струм розрядки конденсатора. Конденсатор перезаряджається, заряд на обкладинках досягає максимального значення, а струм в котушці дорівнює нулю. Енергія електричного поля досягає максимуму, а енергія магнітного поля мінімуму. Далі процеси почнуть протікати в зворотному напрямку.
Відповідно до закону Ома, - е.р.с. самоіндукції котушки, - напруга на конденсаторі, - за визначенням.
Тоді. Рішення цього рівняння, таким чином заряд змінюється за гармонійним законом з циклічною частотою і періодом - формула Томсона.
Напруга на конденсаторі:
, де - максимальне значення напруги на конденсаторі.
Сила струму в коливальному контурі:
тобто ток змінюється за гармонійним законом і коливання струму випереджають по фазі напруга на конденсаторі на / 2. Це означає, що коли струм досягає максимального значення, заряд і напруга на конденсаторі звертається в нуль, і навпаки.
Вільні затухаючі коливання в коливальному контурі.
Всякий реальний коливальний контур має активним опором. Енергія, запасені в контурі, поступово витрачається на нагрівання, через що вільні коливання і загасають.
Закон Ома для коливального контуру з опором:
, - е.р.с. самоіндукції котушки, - напруга на конденсаторі, - за визначенням.
Позначимо. Тоді диференціальне рівняння можна записати у вигляді.
За умови, що, рішенням цього рівняння є вираз, тобто коливання заряду відбуваються з частотою.
Напруга на конденсаторі:
Оскільки, то. Таким чином, при наявності в контурі активного опору сила струму випереджає по фазі напругу на конденсаторі більш ніж на / 2.
Логарифмічний декремент загасання:.
Щоб в реальному коливальній системі компенсувати втрати енергії і отримати незгасаючі коливання потрібно впливати на систему зовнішньої змушує силою, що змінюється з часом за гармонічним законом.
У разі коливального контуру роль сили, що змушує грає джерело струму з ЕРС . Згідно закону Ома:
Рішенням неоднорідного диференціального рівняння є:
Загальне рішення однорідного диференціального рівняння:
. Через досить великий час множник стає малим і їм можна знехтувати. Це рішення відіграє роль тільки при встановленні коливань.
Приватне рішення неоднорідного диференціального рівняння:
Сталі вимушені коливання визначаються виразом.
Сила струму в контурі:. Запишемо цей вираз у вигляді:, де - зсув фаз між струмом і прикладеною напругою. тоді
Отже, струм відстає по фазі від пріложенногонапряженія тоді, коли, і випереджає напругу коли.
Напруга на активному опорі:.
Напруга на конденсаторі:, де
Напруга на котушці:
Таким чином, напруга на ємності відстає по фазі від сили струму на / 2. Напруга на котушці випереджає струм на / 2. Напруга на опорі збігається по фазі з струмом.
Гармонійні коливання можна задати за допомогою вектора. Візьмемо в якості прямої, від якої відраховується початкова фаза, вісь струмів. Тоді напруги на опорі, конденсаторі і котушці можна уявити на діаграмі. Сумарна напруга має дорівнювати додається напруги, тому що відповідно до закону Ома. Тому на діаграмі на напругу U зображується, що дорівнює сумі векторів.
З формули випливає, що амплітуда заряду і напруги на конденсаторі має максимум при частоті wрез. Щоб знайти частоту максимуму треба вираз для амплітуди продифференцировать по частоті, тоді отримаємо. При резонансні криві сходяться в одній точці с.
Амплітуда сили струму має резонансне значення при. Тому резонансна частота для сили струму збігається з власною частотою контуру. Резонансні криві для струму I починаються з нуля, тому що при постійній напрузі сталий струм в ланцюзі з конденсатором текти не може.
З рівнянь Максвелла випливає, що змінне магнітне поле породжує змінне електричне поле, а змінне електричне поле породжує змінне магнітне поле. Тобто електричне і магнітне поле нерозривно пов'язані один з одним. Вони утворюють єдине електромагнітне поле. Якщо порушити за допомогою тих, хто вагається зарядів змінне електромагнітне поле, то в навколишньому просторі виникне послідовність взаємних перетворень електричного і магнітного полів, що поширюються в просторі від точки до точки. Цей процес буде періодичним в часі і в просторі, і представляє собою електромагнітну хвилю.
Покажемо, що існування електромагнітних хвиль випливає з рівнянь Максвелла:
У разі однорідної нейтральної ( = 0), непроводящей (j = 0) середовища з постійними і рівняння Максвелла можна переписати:
Візьмемо ротор від обох частин рівняння (1):
Тут використано співвідношення і враховано, що. Згідно (3) перший доданок вираження (5) дорівнює нулю. Тому.
Зміна порядку диференціювання по координаті і часу призводить до рівності:
Використовуючи співвідношення (2), отримаємо
Аналогічно можна отримати рівняння для вектора Н, взявши ротор від рівняння (2):
Рівняння (6) і (7) нерозривно пов'язані один з одним, тому що вони отримані з рівнянь Максвелла, які містять і Е і Н.
Рівняння, - являють собою хвильове рівняння, причому фазова швидкість хвилі. У вакуумі. У середовищі . Тобто с - швидкість поширення електромагнітних хвиль у вакуумі - є гранична швидкість поширення електромагнітних хвиль.
Розглянемо плоску електромагнітну хвилю, що поширюється в однорідному нейтральної ( = 0). непроводящей (j = 0) середовищі з постійними і . Направимо вісь x перпендикулярно хвильовим поверхнях, тобто вектора Е і Н і їх компоненти по координатним осях не залежатимуть від координат y і z.
Тоді рівняння Максвелла, можна записати у вигляді:
Таким чином, і не залежать від x.
Запишемо x -у складову роторів Е і Н:
Таким чином, і не залежать від x і від t. тобто поле хвилі не має складових уздовж осі x. а, отже, вектори Е і Н перпендикулярні до напрямку поширення хвилі. Це означає, що електромагнітні хвилі поперечні.
Припустимо, що спочатку було створено поле, спрямоване вздовж осі y. Відповідно до рівняння Максвелла це поле створює змінне магнітне поле, спрямоване вздовж осі z. Згідно з іншим рівнянням Максвелла це поле створює електричне поле. Таким чином, вектора Е і Н взаємно перпендикулярні
Продифференцировав перше рівняння по x. і підставивши в друге рівняння, отримаємо: і.
Рішенням цих рівнянь є функції:
, де k - хвильове число, 1 і 2 - початкові фази.
Підставами ці вирази в рівняння і. отримаємо:
Для того щоб рівняння задовольнялися необхідно, щоб початкові фази були рівні: 1 = 2. Перемножимо ці два вирази, отримаємо. Таким чином, коливання векторів Е і Н відбуваються синфазно і амплітуди векторів в кожен момент часу пов'язані співвідношенням:.
Властивості електромагнітних хвиль:
1. З рівнянь Максвелла випливає, що вектори напруженості E і H електромагнітного поля задовольняють хвильовому рівнянню:
, де - оператор Лапласа, v - фазова швидкість.
2. Фазова швидкість визначається виразом:, де о і о - електрична і магнітна постійні, і - електрична і магнітна проникності середовища. У вакуумі, і швидкість поширення електромагнітних хвиль збігається зі швидкістю с. Оскільки , То швидкість поширення електромагнітних хвиль в речовині завжди менше швидкості поширення електромагнітних хвиль у вакуумі.
3.Електромагнітние хвилі поперечні, тобто вектори напруженостей електричних і магнітних полів Е і Н в хвилі взаємно перпендикулярні, і лежать в площині, перпендикулярній вектору v швидкості поширення хвилі.
4. Вектори Е і Н завжди коливаються в однакових фазах, миттєві значення Е і Н в будь-якій точці пов'язані співвідношенням
5. Хвильовим рівнянням задовольняють плоскі монохроматичні хвилі (хвилі строго певної частоти):
, де k - хвильове число.
Енергія електромагнітних хвиль. Вектор Умова-Пойнтінга. Імпульс електромагнітного поля.
Густина енергії електромагнітної хвилі складається з об'ємних густин wел і WМ електричного і магнітного полів:
Щільність енергії електричного і магнітного полів в кожен момент часу однакові.
Якщо помножити щільність енергії на швидкість поширення хвиль в середовищі, то отримаємо модуль густини потоку енергії S = wv = EH. Оскільки вектори E і H перпендикулярні, то напрямок вектора збігається з напрямком переносу енергії. Вектор щільності потоку електромагнітної енергії називається вектором Умова-Пойнтінга: Він спрямований в бік поширення електромагнітної хвилі.
Поглинаючись в будь-якому тілі, електромагнітна хвиля повідомляє цьому тілу певний імпульс, тобто чинить на нього тиск. Досліди Лебедєва в 1908 році доводять, що світло дійсно надає на тіло тиск.
Нехай плоска електромагнітна хвиля падає на плоску поверхню слабо провідного тіла. Електричне поле електромагнітної хвилі порушить в тілі струм щільності. Магнітне поле хвилі діє на струм з силою Ампера, яка в розрахунку на одиницю об'єму тіла, дорівнює:. Отже, поверхневому шару площею одиниця і товщиною dl. повідомляється імпульс:. У цьому ж шарі в одиницю часу поглинається енергія. Розділимо один на одного ці вирази:. ()
Отже, імпульс одиниці об'єму електромагнітного поля:. Вектор Умова-Пойнтінга. Напрями векторів p і S збігаються.
Шкала електромагнітних хвиль.
Електромагнітні хвилі охоплюють широкий діапазон частот. Але вони відрізняються один від одного способом генерації і способом реєстрації, а також їх властивостями. Тому електромагнітні хвилі поділяються на кілька видів: радіохвилі, світлові хвилі, рентгенівське і - випромінювання. (Див таблицю 5 на стор 298 Трофимова Т.И. Кус фізики).
ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ І ЗАКОНИ геометричній ОПТИКИ.
Світло являє собою електромагнітну хвилю. У електромагнітної хвилі коливаються вектори Е і Н. Як показує досвід, різне дію світла на речовину виявляється саме коливаннями електричного вектора. Тому вектор напруженості електричного поля електромагнітної хвилі називають світловим вектором. Модуль амплітуди світлового вектора позначають А.
Абсолютним показником заломлення середовища називається величина, що дорівнює відношенню швидкості електромагнітних хвиль в вакуумі до їх фазової швидкості в середовищі:.
Лінії, уздовж яких поширюється світлова енергія, називаються променями. Модуль середнього за часом значення щільності потоку енергії, яку переносять пучком називається інтенсивністю світла I в даній точці простору. Отже,. . Отже,. Можна написати, що.
Точкове джерело світла - джерело, розмірами якого можна знехтувати в порівнянні з висвітлення ним предметом або відстанню до нього.
Закон прямолінійного поширення світла. світло в оптично однорідному середовищі (середовищі з постійним показником заломлення) поширюється прямолінійно. Доказом цього закону є наявність тіні з чіткою межею при висвітленні непрозорого предмета. Закон порушується при проходженні світла крізь малі отвори.
Закон незалежності світлових пучків. ефект, вироблений окремим пучком, не залежить від того чи діють одночасно інші пучки або їх немає.
Якщо світло падає на межу поділу двох середовищ, то падаючий промінь розпадається на два - відбитий і заломлений.
Закон відображення. падаючий промінь, промінь відбитий і перпендикуляр, відновлений до кордону розділу двох середовищ у точці падіння лежать в одній площині, і кут падіння дорівнює куту відбиття.
Закон заломлення. промінь падаючий, промінь переломлений і перпендикуляр, відновлений до кордону розділу двох середовищ у точці падіння, лежать в одній площині. Синус кута падіння відноситься до синусу кута заломлення як показник заломлення другого середовища до показника заломлення першого середовища:.
Якщо світло падає з оптично менш густого середовища в оптично більш щільну, тобто n1
При збільшенні кута падіння збільшується і кут заломлення. При деякому куті падіння о. кут заломлення 2 = 90 О. При подальшому збільшенні кута падіння, переломленого променя вже немає, а світло повністю відбивається від поверхні розділу двох середовищ. У міру наближення кута падіння до граничного інтенсивність переломленого променязменшується, а відбитого зростає. При i = iпред інтенсивність переломленого променя дорівнює нулю, а відбитого - дорівнює інтенсивності падаючого. Це явище називається явищем повного відображення.
Явище повного відображення використовується в призмах повного відображення. Показник заломлення скла n = 1.5, тому iпред = 42 0 (arcsin 1 / 1.5). Коли світло падає на межу скло - повітря при i> iпред. то буде повне відображення. Луч можна повернути на 90 0. промені можна обернути, повернути зображення.
Явище повного відображення використовується в световодах, який представляє собою световодного жилу зі скла, оточену оболонкою з іншого скла з меншим показником заломлення. Світло, що падає на торець під кутами, великими граничного, на кордоні розділу серцевини і оболонки зазнає повне відображення і поширюється тільки в світиться жилі.
Корпускулярна і хвильова теорії світла.
Основні закони геометричної оптики були відомі з часів стародавніх греків. Уявлення про природу світла трансформувалося з 17 до 19 століття. До кінця 17 століття виникло дві теорії світла: корпускулярна (Ньютон) і хвильова (Гук і Гюйгенс). Корпускулярна теорія добре описувала питання взаємодії світла з речовиною (розсіювання, поглинання), а хвильова теорія добре описувала закони поширення світла (дифракція, інтерференція). Одна теорія повністю описати всі закони випромінювання, поширення і поглинання світла не може. У світлі проявляється корпускулярно-хвильовий дуалізм.