Теоретичний матеріал по темі «Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Взаімосвяеь операцій над комплексними числами і перетворень площині »
1. Геометричне зображення комплексного числа.
Як відомо, дійсні числа можна зображати точками числової прямої. При цьому, кожному дійсному числу відповідає єдина точка числової прямої. Наприклад, дійсному числу відповідає точка А, що знаходиться праворуч від початкової точки О на відстані в одиниць довжини; дійсному числу -2 відповідає точка В, що знаходиться зліва від точки О на відстані дві одиниці довжини; дійсному числу відповідає точка С, що знаходиться праворуч від О на відстані в одиниць довжини (рис.1) Назад, кожної числової прямої відповідає цілком певне дійсне число.
Наприклад, точкам А і В відповідають раціональні числа і -2, а точці С - ірраціональне число.
Таким чином, безліч всіх дійсних чисел знаходиться у взаємно однозначним дотриманням безліччю всіх точок числової прямої.
Подібно до того, як дійсні числа можна зображати точками числової прямої, комплексні числа можна геометрично представляти точками площини.
Нехай на площині задана прямокутна система координат. Комплексне число зображається точкою плоскості з координатами (рис.2).
Кожна точка площини має певні координати. Тому при обраному відповідно кожній точці площини буде відповідати деякий комплексне число.
Наприклад, точці А з координатами (2, 3) відповідає число 2 + 3i, точці В з координатами (-1; 1) - число -1 + i, точці С з координатами (4; 0) - число 4 + 0i, а точці D з координатами (0; -2) - число 0-2i (рис.3).
Але чи не може статися так, що однією і тією ж точці площини, наприклад, точці. будуть відповідати різні комплексні числа. Наприклад, і. Якби було так, то ми мали б; . Звідси. Але в такому випадку, числа і були б рівні між собою. Отже, кожному комплексному числу відповідає єдина точка площини з координатами і, навпаки, кожній точці площини з координатами відповідає єдине комплексне число.
Таким чином, безліч всіх комплексних чисел знаходиться у взаємно однозначним дотриманням безліччю всіх точок площини.
При такій інтерпретації дійсні числа а. тобто комплексні числа виду а + 0i. зображуються точками з координатами (а; 0), тобто точками осі абсцис. Тому вісь абсцис називають дійсною віссю. Чисто уявні числа bi = 0 + bi зображуються точками з координатами (0; b), тобто точками осі ординат, тому вісь ординат називають уявною віссю. При цьому точка з координатами (0; b) позначається bi. Наприклад, точка (0; 1) позначається i, точка (0; -1) - це точка - i, точка (0; 2) - це точка 2i. Початок координат - це точка О (ріс4).
Площина, на якій зображуються комплексні числа, називається комплексної площиною.
Точки z і -z симетричні щодо точки О (початку координат), а точки z і симетричні щодо дійсної осі. Нехай. Тоді. . Точки z і мають координати відповідно (а; b) і (-а; -b), отже, вони симетричні відносно початку координат. Точка має координати (а; -b), отже, вона симетрична з точкою z щодо дійсної осі (рис.5).
Взаємно однозначна відповідність призводить до наступної геометричній інтерпретації комплексних чисел: кожне комплексне число геометрично зображується на площині як точка А (а; b) або як вектор
з початком на початку координат і з кінцем в точці А з координатами (а; b) (рис.6).
Користуючись геометричним зображенням комплексних чисел за допомогою векторів легко дати геометричну інтерпретацію додавання і віднімання комплексних чисел.
2. Геометричне зображення суми комплексних чисел.
Розглянемо геометричну інтерпретацію складання двох комплексних чисел і. Сума чисел і є число Розглянемо вектори. кінець якого знаходиться в точці. . кінець якого знаходиться в точці. і. кінець якого знаходиться в точці. які виходять із точки О. Вектор є діагоналлю паралелограма (рис.7).
Таким чином, складання комплексних чисел і можна інтерпретувати як правило складання за правилом паралелограма відповідних їм векторів і.
3. Геометричне зображення різниці комплексних чисел.
Вектори, що зображують протилежні комплексні числа і. симетричні відносно початку координат, оскільки кінці цих векторів - точки M (a; b) і N (-a; -b) - симетричні відносно початку координат (рис.8).