Рівняння руху математичного маятника
Зараз вже неможливо перевірити легенду про те, як Галілей, Стоячи на молитві в соборі, уважно спостерігав за коченням бронзових люстр. Спостерігав і визначав час, витрачений люстрою на рух туди і назад. Це час потім назвали періодом коливань. Годин у Галілея не було, і, щоб порівняти період коливань люстр, підвішених на ланцюгах різної довжини, він використовував частоту биття свого пульсу.
Маятники використовують для регулювання ходу годинника, оскільки будь-який маятник має цілком певний період коливань. Маятник знаходить також важливе застосування в геологічній розвідці. Відомо, що в різних місцях земної кулі значення g різні. Різні вони тому, що Земля - не цілком правильний куля. Крім того, в тих місцях, де залягають щільні породи, наприклад деякі металеві руди, значення g аномально високо. Точні виміри g за допомогою математичного маятника іноді дозволяють виявити такі родовища.
Рівняння руху математичного маятника
Математичним маятником називається важка матеріальна точка, яка рухається або по вертикальній кола (плоский математичний маятник), або за сферою (сферичний маятник). У першому наближенні математичним маятником можна вважати вантаж малих розмірів, підвішений на нерастяжимой гнучкої нитки.
Розглянемо рух плоского математичного маятника по колу радіуса l з центром в точці О (рис. 1). Будемо визначати положення точки М (маятника) кутом відхилення j радіуса ОМ від вертикалі. Направляючи дотичну M t в сторону позитивного відліку кута j, складемо природне рівняння руху. Це рівняння утворюється з рівняння руху
mW = F + N. (1)
де F - діюча на точку активна сила, а N - реакція зв'язку.
Рівняння (1) ми отримали за другим законом Ньютона, який є основним законом динаміки і говорить, що похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорівнює діючій на неї силі, т. Е.
Вважаючи масу постійної, можна уявити попереднє рівняння у вигляді
де W є прискорення точки.
Отже рівняння (1) в проекції на вісь t дасть нам одне з природних рівнянь руху точки по заданій нерухомої гладкої кривої:
У нашому випадку отримаємо в проекції на вісь t
,
де m є маса маятника.
Так як або. звідси знаходимо
.
Скорочуючи на m і вважаючи
. (3)
будемо остаточно мати:
. (4)
Розглянемо спочатку випадок малих коливань. Нехай в початковий момент маятник відхилений від вертикалі на кут j і опущений без початкової швидкості. Тоді початкові умови будуть:
при t = 0,. (5)
З інтеграла енергії:
. (6)
де V - потенційна енергія, а h - постійна інтегрування, слід, що при цих умовах в будь-який момент часу кут jЈj0. Значення постійної h визначається за початковими даними. Припустимо, що кут j0 малий (j0 Ј1); тоді кут j буде також малий і можна приблизно покласти sinj »j. При цьому рівняння (4) набуде вигляду
. (7)
Рівняння (7) є диференціальне рівняння простого гармонійного коливання. Загальне рішення цього рівняння має вигляд
. (8)
де A і B або a і e суть постійні інтегрування.
Звідси відразу знаходимо період (T) малих коливань математичного маятника (період - проміжок часу, протягом якого точка повертається в попереднє положення з тією ж швидкістю)
,
тому sin має період рівний 2p, то wT = 2p Ю
Для знаходження закону руху при початкових умовах (5) обчислюємо:
. (10)
Підставляючи значення (5) в рівняння (8) і (10), отримаємо:
тобто B = 0. Отже, закон руху для малих коливань за умов (5) буде:
j = j0 cos wt. (11)
Знайдемо тепер точне рішення задачі про плоскому математичному маятнику. Визначимо спочатку перший інтеграл рівняння руху (4). Так як
,
то (4) можна представити у вигляді
.
Звідси, множачи обидві частини рівняння на d j і інтегруючи, отримаємо:
. (12)
Позначимо тут через j0 кут максимального відхилення маятника; тоді при j = j0 матимемо. звідки C = w 2 cosj0. В результаті інтеграл (12) дає:
. (13)
де w визначається рівністю (3).
Цей інтеграл являє собою інтеграл енергії і може бути безпосередньо отриманий з рівняння
. (14)
де - робота на переміщенні M0M активної сили F. якщо врахувати, що в нашому випадку v0 = 0, і (див. рис.).
З рівняння (13) видно, що при русі маятника кут j буде змінюватися між значеннями + j0 і -j0 (| j | Јj0. Так як), тобто маятник буде здійснювати коливальний рух. Домовимося відраховувати час t від моменту проходження маятника через вертикаль OA при його русі право (див. Рис.). Тоді матимемо початкова умова:
Крім того, при русі з точки A буде; витягуючи з обох частин рівності (13) квадратний корінь, одержимо:
.
Поділяючи тут змінні, матимемо:
.
Підставляючи цей результат в рівняння (16), отримуємо:
Щоб проінтегрувати рівняння (17), потрібно знайти квадратуру лівій частині. Для цього перейдемо від j до нових змінному a, вважаючи:
.
Підставляючи всі ці величини в рівняння (17) і замінюючи w його значенням (3), отримаємо:
За прийнятим початкових умов (15) при t = 0 кут j = 0, а отже, як видно з (18), і a = 0. Тоді, беручи від обох частин рівняння (19) певні інтеграли праворуч від 0 до t. а зліва від 0 до a, отримаємо закон руху маятника у вигляді
Інтеграл, що стоїть в лівій частині рівності (20), являє собою еліптичний інтеграл першого роду. Величина k називається модулем еліптичного інтеграла. Цей інтеграл є функція верхньої межі і модуля, тобто
. (21)
Якщо в рівність (21) розглядати верхня межа a як функцію від інтеграла u. то така функція називається амплітуди u і позначається так:
Беручи від обох частин рівності (22) синус, ми отримаємо:
Функція snu (синус-амплітуда u) являє собою так звану еліптичну функцію Якобі. Оскільки, відповідно до рівняння (20),. то, переходячи в рівність (23) від a до j за допомогою формули (18), знайдемо закон руху маятника, виражений еліптичну функцію sn, у вигляді