Нехай система описується рівняннями стану загального вигляду (8.3). Зробимо в цих рівняннях заміну змінних x = Qz. де - новий вектор стану, Q - довільна матриця розмірністю з постійними коефіцієнтами. На матрицю Q накладається єдине обмеження - вона повинна бути невироджених (неособенной), тобто визначник цієї матриці. В цьому випадку завжди існує зворотна матриця, яку будемо позначати через. така, що. де - одинична матриця розмірністю. Очевидно, що за цих умов існує однозначна зв'язок між векторами x та z. . .
У рівняннях (8.3) зробимо заміну x = Qz і з урахуванням того, що. отримаємо
Рівняння (8.8) будуть новими рівняннями стану, що мають основну матрицю системи. входу і виходу C Q. Так як Q - довільна матриця, то вихідним рівнянням (8.3) відповідає незліченну кількість еквівалентних рівнянь стану (8.8).
Відзначимо, що дві матриці A і. пов'язані перетворенням. називаються подібними. Подібні матриці мають однакові власні значення.
Використовуючи лінійне перетворення, можна поставити завдання про вибір при дослідженні тієї чи іншої форми рівнянь стану. Найбільш часто вирішується завдання перетворення вихідної системи (8.3) до нормального або канонічної формі рівнянь стану (8.8).
Доведено, що для довільної матриці А завжди існує невироджених квадратна матриця розмірністю. яку позначимо через M і назвемо модальної. така, що матриця буде мати форму Жордана. Якщо матриця А має різні власні значення (числа). є корінням характеристичного рівняння
то матриця буде діагональною:.
Таким чином, перетворення довільної системи рівнянь (8.3) до канонічної формі завжди можливо. Найбільш просто задача визначення модальної матриці вирішується для випадку різних власних чисел матриці А. які позначимо через. Для кожного власного числа знаходиться власний вектор з рішення векторно-матричного рівняння
Матриця, утворена вектор-стовпцями. тобто матриця
і буде шуканої модальної матрицею.
Відповідно до (8.9) при визначник системи лінійних рівнянь (8.10) дорівнює нулю, тобто система має незліченну безліч рішень, кожне з яких можна прийняти за власний вектор. Звідси матриця М є неєдиним.
У разі кратних власних значень матриці А завдання визначення модальної матриця значно ускладнюється.
Зокрема, якщо вихідна матриця А є матрицею Фробеніуса
виду
і власні числа. є корінням характеристичного рівняння
різні, то модальна матриця буде мати вигляд
Приклад 8.3. Нехай в САУ, яка розглядалася в прикладах 8.1 і 8.2, з,. тоді рівняння (8.7) матимуть вигляд
Перетворимо рівняння стану до канонічної формі. Основна матриця системи А є матрицею Фробеніуса. Знайдемо її власні значення з рішення характеристичного рівняння
Коріння рівняння будуть різними:. . Таким чином, відповідно до (8.14) визначаємо модальну матрицю M і зворотний їй:
Отже, рівняння стану (8.15) перетворюються до канонічної формі:
Приклад 8.4. Нехай система описується рівняннями стану
Коріння характеристичного рівняння будуть. .
Знаходимо власні вектори з рішення системи лінійних рівнянь. .
Вважаючи. матимемо
З останніх двох рівнянь. звідки, задаючи, наприклад,. отримаємо. Отже, перший власний вектор. При зрештою для визначення координат другого власного вектора одержимо. Вважаючи. матимемо і відповідно. Отже, матрицю М можна вибрати у вигляді
Остаточно рівняння в канонічній формі будуть мати такий вигляд: