Нехай в n-вимірному лінійному просторі R n є два базиси: (старий) і (новий). Кожен вектор простору R n може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базисних векторів. Припустимо, що вектори виражаються через базисні вектори за допомогою формул
називають матрицею переходу від старого базису до нового.
Визначник матриці А відмінний від нуля, так як інакше в силу теореми 3.7 рядки цієї матриці (а значить, і базисні вектори) виявилися б лінійно залежними.
Доведемо, що зворотний перехід від нового базису до старого базису здійснюється за допомогою матриці В, зворотної до матриці А.
По теоремі 3.8 матриця В, обернена до матриці А, має вигляд
де через позначено визначник матриці А, а через - алгебраїчне доповнення елемента матриці А.
Помножимо рівняння (4.1) відповідно на алгебраїчні доповнення,, ..., елементів j-го стовпця визначника і після цього складемо ці рівняння. В результаті отримаємо (для будь-якого номера j. Дорівнює 1,2, ..., n)
Сума добутків елементів i-го стовпця на відповідні алгебраїчні доповнення елементів j-го стовпця визначника дорівнює нулю при (теорема 3.5), якщо ж, то ця сума є розкладання визначника за елементами j-го стовпця (теорема 3.4). тоді
Рівності (4.3) запишуться у вигляді
Формули (4.4) показують, що зворотний перехід від базису до базису здійснюється за допомогою
матриці В = А -1.
Знайдемо залежність між координатами вектора в різних базисах. Нехай х - довільний вектор розглянутого простору R n; () - його координати в старому базисі, () - його координати в новому базисі, так що
Підставивши в праву частину рівності (4.5) замість векторів їх вираження, що визначаються формулами (4.1), отримаємо
З останнього рівності в силу єдиності розкладання по базису отримуємо формули переходу від координат в новому базисі до координат в старому базисі:
Рівності (4.6) можна представити в матричній формі
де А Т і (А -1) Т - матриці, транспонований по відношенню до матриці А і зворотного матриці А Т. відповідно.
Приклад. В базисі задані вектори,, і. Показати, що вектори утворюють базис і висловити вектор b в базисі.
○ Три тривимірних вектора утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні. Щоб довести лінійну незалежність векторів, обчислимо визначник, складений з координат цих векторів:
Визначник не дорівнює нулю, значить, вектори лінійно незалежні і утворюють базис. Висловимо зв'язок між базисами:
Матриця переходу від базису до базису має вигляд
Обчислюємо зворотну матрицю А -1 за формулою (4.2) і знаходимо транспоновану матрицю (А -1) Т:
Тепер за формулою (4.7) знаходимо координати вектора b:
Таким чином, координати вектора b в базисі є (0,5; 2; 0,5) і вектор b може бути представлений у вигляді: