Лекція 15. РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ КОШІ ДЛЯ хвильового рівняння
Поставимо задачу Коші для однорідного хвильового рівняння, що описує вільні коливання однорідної струни, тобто знайдемо рішення рівняння
задовольняє початковим умовам
Цю задачу (15.1), (15.2) можна вирішити методом Даламбера.
Здійснимо перехід до канонічної формі рівняння (15.1) за допомогою загальних інтегралів рівняння характеристик (13.3). У нашому випадку це рівняння має вигляд:
Отже, С1 і С2 визначають рівняння сімейств характеристик. Тоді перетворення незалежних змінних (13.5) буде мати вигляд
Обчислимо в нових змінних:
і підставимо їх у рівняння (15.1)
Після скорочень отримаємо
Інтегрування цього рівняння дає
Повертаючись до змінним х і у. остаточно будемо мати
Функція є розв'язком рівняння (15.1), якщо и1 і і2 - довільні двічі диференціюються. У рішенні (15.4) необхідно вибрати функції и1 і і2 так, щоб задовольнити початкових умов (15.2)
Проинтегрировав рівняння (15.6) в межах від х0 до х. отримаємо
Дозволивши спільно рівняння (15.5) і (15.7) щодо и1 (х) і і 2 (х), отримаємо
Підставивши (15.8) і (15.9) в рішення (15.4) остаточно отримаємо рішення задачі Коші для однорідного хвильового рівняння
Формула (15.10) називається формулою Даламбера для однорідного хвильового рівняння, що описує вільні коливання однорідної струни. Ця формула дає класичне рішення задачі (15.1) - (15.2) тільки в припущенні, що функція має похідні до другого порядку включно, а функція - до першого.
Рішення задачі Коші неоднорідного хвильового рівняння, що описує вимушені коливання однорідної струни
задовольняє початковим умовам
можна отримати за формулою
Це формула Даламбера. дає рішення задачі Коші для неоднорідного хвильового рівняння, що описує вимушені коливання однорідної струни.
Приклад 15.1. Знайти рішення рівняння
задовольняє початковим умовам
▲ Для знаходження рішення вихідної задачі Коші використовуємо формулу Даламбера (15.10)
Остаточно рішення вихідної задачі має вигляд
Приклад 15.2. Знайти рішення рівняння
задовольняє початковим умовам
▲ Для знаходження рішення вихідної задачі Коші використовуємо формулу Даламбера (15.10)
Остаточно рішення вихідної задачі має вигляд
Приклад 15.3. Знайти рішення рівняння
задовольняє початковим умовам
▲ Для знаходження рішення вихідної задачі Коші використовуємо формулу Даламбера (15.13)
Остаточно рішення вихідної задачі має вигляд