Іноді в рівняннях деякі коефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені буквами.
У цьому рівнянні х - невідоме, a, b, c - коефіцієнти, які можуть приймати різні числові значення. Задані таким чином коефіцієнти називаються параметрами.
Одне рівняння з параметрами задає безліч рівнянь (для всіх можливих значень параметрів).
-102-1000y =; і т.д.
це все рівняння, які задає рівняння з параметрами ax + b = c.
Вирішити рівняння з параметрами - це значить:
1. Вказати, при яких значеннях параметрів рівняння має коріння і скільки їх при різних значеннях параметрів.
2. Знайти всі вирази для коренів і вказати для кожного з них ті значення параметрів, при яких цей вислів визначає корінь рівняння.
Звернемося до вже наведеного рівняння з параметрами ax + b = c і вирішимо його.
Якщо а ¹0, то.
Якщо а = 0, то отримуємо b = c. якщо це дійсно так, то коренем рівняння є будь-яке дійсне число, якщо ж b¹c. то рівняння рішень не має.
Таким чином, ми отримали:
при а = 0 і b = c, х - будь-яке дійсне число;
при а = 0 і b¹c, рівняння коренів не має.
У процесі вирішення цього рівняння ми виділили значення параметра а = 0. при якому відбувається якісна зміна рівняння, таке значення параметра ми надалі будемо називати «контрольним». Залежно від того, яке рівняння ми маємо, «контрольні» значення параметра знаходяться по-різному. Розглянемо різні типи рівнянь і вкажемо спосіб знаходження «контрольних» значень параметра.
I. Лінійні рівняння з параметром і рівняння, що приводяться до лінійних
У таких рівняннях «контрольними» значеннями параметрів, як правило, є значення, що звертають в нуль коефіцієнти при х.
Приклад 1. Вирішити рівняння з параметром: 2а (а -2) х = а- 2
1. «Контрольними» значеннями є значення, що задовольняють умові:
вирішимо це рівняння щодо змінної а.
2. Вирішимо початкове рівняння при «контрольних» значеннях параметра.
При а = 0 маємо 0 × х = - 2, але це не має місце за жодних дійсних значеннях х. тобто в цьому випадку рівняння коренів не має.
При а = 2 маємо 0 × х = 0, це справедливо при будь-якому значенні х. значить, коренем рівняння є будь-яке дійсне число х.
3. Вирішимо початкове рівняння, в разі, коли а¹ 0 і а¹ 2, тоді 2а (а -2) ¹ 0 і обидві частини рівняння можна поділити на 2а (а -2), отримаємо:
, так як а¹ 2, то дріб можна скоротити на (а -2), тоді маємо.
Відповідь: при а = 0, коренів немає;
при а = 2, корінь - будь-яке дійсне число;
Можна уявити алгоритм вирішення такого типу рівнянь.
1. Визначити «контрольні» значення параметра.
2. Вирішити рівняння щодо х. при контрольних значеннях параметра.
3. Вирішити рівняння щодо х. при значеннях, відмінних від «контрольних».
4. Записати відповідь у вигляді:
Відповідь: 1) при значеннях параметра. рівняння має коріння. ;
2) при значеннях параметра. рівняння має коріння. ;
3) при значеннях параметра. рівняння коренів не має.
Приклад 2. Вирішити рівняння з параметром
1. Знайдемо контрольні значення параметра
2. Вирішимо рівняння при а = 1
0 × х = (1 + 2 × 1-3) Û 0 × х = 0 Þ х - будь-яке дійсне число.