Знайти функцію удовлетвор. рівняння
Фізично потрібно знайти розподіл температур в стрижні довжини l. в початковий момент часу. а на кінцях нульова температура
Отримано замість рівняння теплопроодності, два звичайних диференціальних рівнянь;
Щоб отримати нетривіальне рішення задовольняє однорідним граничним умовам, необхідна знайти нетривіальні рішення рівняння:
. задовольняє граничним умовам
Так само як і при вирішенні однорідної крайової задачі для хвильового рівняння можна показати, що ...
для
Існує нетривіальне рішення n = 1,2,3
Постал. завдання Штурман-?
Для вирішення Т отримуємо:
Тоді функції - власні функції вихідної крайової задачі відповідне власним значенням
і є відповідним рішенням вихідної крайової задачі; утворюємо формальний ряд:
. зажадавши, щоб удовлетвор. початкових умов
- коефіцієнт розкладання функції в ряд Фур'є по sin на інтервалі від 0 до n.
Припустимо, що двічі безперервно діфферен. на функції
. тоді ряд спільного рішення буде сходиться і функції абсолютно і рівномірно, оскільки:
Тому сума цього ряду буде безперервної в області. і задовольняє в цій області початковим і граничним умовам.
Розглянемо загальну крайову задачу
Для того щоб вирішити цю задачу будемо шукати рішення у вигляді:
Тоді функція буде рішенням наступної крайової задачі:
- нове початкова умова для функції
Таким чином функція задовольняє рівняння:
Отже, вихідна завдання спростилася і звелася до знаходження функції
З наступної крайової задачі
Розіб'ємо її на 2-е завдання:
Вирішуємо задачу знаходження функції. будемо шукати рішення у вигляді:
Розкладемо функцію в ряд Фур'є по sin на отримаємо:
Підставивши отримані уявлення:
Прирівнявши відповідний коефіцієнт при однакових sin, отримаємо нескінченне число рівнянь
Рішення такого завдання, як було показано при вирішенні хвильової змішаної задачі, можна представити у вигляді згортки наступної функції
підставляємо знайдене рішення в поданні для функції.
рішення 2-ий завдання.
Рішення завдання для