матриця перестановки

Матриця перестановки (або підстановки) - квадратна бінарна матриця. в кожному рядку і стовпці якої знаходиться рівно один одиничний елемент. Кожна матриця перестановки розміру $n\; \backslash \; times\; n$ є матричним представленням перестановки порядку $n$.

визначення

Нехай дана перестановка $\backslash \; sigma$ порядку $n$:

1 2 \ ldots n \\ \ sigma (1) \ Sigma (2) \ ldots \ Sigma (n) \ end

Відповідною матрицею перестановки є матриця $n\; \backslash \; times\; n$ виду:

\ Mathbf _ \\ \ mathbf _ \\ \ vdots \\ \ mathbf_ \ end, де $\backslash \; mathbf\_$ - вектор довжини $n$, $i$-й елемент якого дорівнює 1, а інші рівні нулю.

1 2 3 4 \\ 4 2 1 3 \ end

0 0 0 1 \\ 0 1 0 0 \\ 1 0 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ \ end

• Для будь-яких двох перестановок $\backslash \; Sigma,\; \backslash \; pi$ їх матриці мають властивість:

• Матриці перестановки ортогональні. так що для кожної такої матриці існує зворотна: $P\_\; \backslash \; sigma\; ^\; =\; P\_\; \backslash \; sigma\; ^\; T$
• Множення довільної матриці $M$ на перестановки відповідно змінює місцями її стовпці.
• Множення перестановною матриці на довільну $M$ міняє місцями рядки в $M$.
• Визначник перестановною матриці дорівнює парності перестановки. Визначник парної перестановки дорівнює 1, визначник непарної перестановки - -1.

Схожі статті

• матриця перестановок

• Вироджена матриця - це

• вироджена матриця