Еквівалентні умови вирожденність [ред | правити вікі-текст]
Використовуючи різні поняття лінійної алгебри. можна привести різні умови вирожденність:
- Рядки або стовпці матриці лінійно залежні. Іншими словами, в вироджених матриці існує як мінімум два рядки (або два стовпці) x i _ >>> і x j. _, >>> відповідають умові a x i = x j. _ = _, >>>>> де a - скаляр. Зокрема, виродилися будь-яка квадратна матриця, що містить нульовий стовпець або рядок.
- Квадратна матриця A виродилися тоді і тільки тоді. коли існує ненульовий вектор x. такий, що A x = 0. Іншими словами, лінійний оператор. відповідний матриці в стандартному базисі, має нульове ядро.
- Квадратна матриця A виродилися тоді і тільки тоді. коли у неї є хоча б одне нульове власне значення # X03BB; = 0. Це випливає з рівняння, якому задовольняють всі власні значення матриці: det (A # X2212; # X03BB; E) = 0 (де E - одинична матриця), а також з того факту, що визначник матриці дорівнює добутку її власних значень.
Властивості [ред | правити вікі-текст]
- У вироджених матриці немає стандартної оберненої матриці. У той же час у вироджених матриці є псевдообернена матриця (узагальнена зворотна матриця) або навіть їх нескінченна кількість.
- Ранг вироджених матриці менше її розміру (числа рядків).
- Твір вироджених матриці і будь-який квадратної матриці з тим же розміром дає вироджену матрицю. Це випливає з властивості det (A B) = det (A) # X22C5; det (B). Вироджена матриця, зведена в будь-яку цілу позитивну ступінь, залишається вироджених. Твір будь-якої кількості матриць виродилися тоді і тільки тоді, коли хоча б один із співмножників виродилися. Твір невироджених матриць не може бути виродженим.
- Транспонування вироджених матриці залишає її виродження (оскільки транспонування не змінює визначник матриці, det (A T) = det (A)) = \ det (A)>).
- Множення вироджених матриці на скаляр залишає її виродження (оскільки det ( # X03B1; A) = # X03B1; n det (A) = 0 \ det (A) = 0>. де n - розмір вироджених матриці A. α - скаляр).
- Ермітово-спряжена матриця вироджених матриці виродилися (оскільки визначник ермітовим-сполученої матриці комплексно пов'язаний з визначником вихідної матриці і, отже, дорівнює нулю).
- Союзна (взаємна, приєднана) матриця вироджених матриці виродилися (це випливає з властивості союзних матриць det (adj # X2061; (A)) = (det A) n # X2212; 1 (A)) = (\ det A) ^>). Твір вироджених матриці на союзну їй матрицю дає нульову матрицю. A # X22C5; adj # X2061; (A) = adj # X2061; (A) # X22C5; A = 0. (A) = \ operatorname (A) \ cdot A = 0,> оскільки для довільної квадратної матриці A # X22C5; adj # X2061; (A) = adj # X2061; (A) # X22C5; A = det (A) # X22C5; E. (A) = \ operatorname (A) \ cdot A = \ det (A) \ cdot E.>
- Трикутна (і, зокрема, діагональна) матриця вироджена тоді і тільки тоді, коли хоча б один з її елементів на головній діагоналі нульовий. Це випливає з того, що визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів на її головній діагоналі.
- Якщо матриця A вироджена, то система рівнянь A x = 0 має ненульові рішення.
- Перестановка рядків або стовпців вироджених матриці дає вироджену матрицю.
- Вироджена матриця, що розглядається як лінійний оператор. відображає векторний простір в його підпростір меншої розмірності.
Окремі випадки [ред | правити вікі-текст]
Виродженими матрицями є, зокрема:
- нульова матриця (що складається з одних нулів);
- матриця одиниць (що складається з одних одиниць) при розмірі n> 1;
- нільпотентні матриці (матриці, будь-яка натуральна ступінь яких є нульовий матрицею);
- зсувні матриці (підмножина нильпотентних матриць);
- матриця Вандермонда. якщо хоча б два її параметра збігаються;
- Матриці Гелл-Манна в стандартному поданні (крім λ8);
- Матриця Кирхгофа (відома також як матриця Лапласа) - матричне подання графа.