Розглядаються матриці, результатом множення яких на будь-яку прямокутну матрицю є перестановка її рядків або стовпців.
Якщо в одиничної матриці змінити порядок розташування рядків, то отримана матриця називається матрицею перестановок. Інакше кажучи, квадратна матриця, в кожному рядку і в кожному стовпці якої тільки один елемент відмінний від нуля і дорівнює одиниці, називається матрицею перестановок.
Безпосереднім обчисленням легко перевіряються наступні властивості матриці перестановок.- Множення зліва матриці перестановок на прямокутну матрицю A призводить до перестановки рядків матриці A.
- Множення справа матриці перестановок на прямокутну матрицю A призводить до перестановки стовпців матриці A.
Таким чином, якщо в i -му рядку матриці перестановок P одиниця розташована в j -му стовпці, то множення матриці P зліва на матрицю A призводить до переміщення j -ої рядки матриці A в позицію i -ої рядки.
Аналогічно, якщо в i-му стовпці матриці перестановок P одиниця розташована в j -му рядку, то множення матриці P праворуч на матрицю A призводить до переміщення j-го стовпця матриці A в позицію i-го стовпця.
Якщо матриці перестановок P отримана з одиничної матриці E перестановкою місцями ДВНЗ рядків (або двох стовпців), то така матриця називається елементарної матрицею перестановок.
При множення зліва елементарної матриці перестановок на матрицю A відбувається перестановка відповідних рядків матриці A.
Множення справа елементарної матриці перестановок на матрицю A призводить до перестановки відповідних стовпців матриці A.
Для будь-якої матриці перестановок P справедливі такі властивості:
де - транспонована матриця перестановок; E - одинична матриця.
де - дельта-символ Кронекера.
Терема 1. Твір матриць перестановок одного і того ж порядку є матриця перестановок.
Терема 2. Матриця перестановок n -го порядку може бути представлена у вигляді твору (n - 1) елементарних матриць перестановок.
Терема 3. Квадрат елементарної матриці перестановок є одинична матриця.
Доказ цих тверджень надається Новомосковсктелю.