Раціональної дробом називається дріб виду. де і - многочлени. Раціональний дріб називається правильною, якщо ступінь чисельника нижче ступеня знаменника; в іншому випадку дріб називається неправильним.
Елементарними раціональними дробами називаються правильні дроби виду:
2.. де - ціле число, більше одиниці;
3.. де. тобто квадратний тричлен не має дійсних коренів;
У всіх чотирьох випадках передбачається, що - дійсні числа.
Розглянемо інтеграли від елементарних раціональних дробів перших двох типів. маємо:
Для інтегрування дробів третього типу виділяють повний квадрат в знаменнику, а далі використовують табличні інтеграли
Рішення. Виділимо повний квадрат
Для інтегрування елементарних дробів четвертого типу в чисельнику виділяють похідну знаменника і зводять інтеграл від суми двох інтегралів третього типу і.
Рішення. Перетворимо дріб: виділимо в чисельнику з похідну знаменника, рівну. але щоб величина чисельника не змінювався:
Виділимо повний квадрат:
Інтегрування раціональних дробів за допомогою розкладання на елементарні дроби. Перед інтеграцією раціональної дробу треба зробити наступні алгебраїчні перетворення:
1) якщо дана неправильна раціональний дріб, то виділити з неї цілу частину, тобто представити у вигляді:
де - многочлен, а - правильна раціональна дріб;
2) розкласти знаменник дробу на лінійні і квадратні множники:
де. тобто квадратний тричлен не має дійсних коренів;
3) правильну раціональну дріб розкласти на елементарні дроби:
4) обчислити невизначені коефіцієнти для чого привести останню рівність до спільного знаменника, прирівняти коефіцієнти при однакових ступенях в лівій і правій частинах отриманого тотожності і вирішити систему лінійних рівнянь щодо шуканих коефіцієнтів. Можна визначити коефіцієнти і іншим способом, надаючи в отриманому тотожність змінної конкретні значення (коріння знаменника).
В результаті інтегрування раціонального дробу зведеться до знаходження інтегралів від многочлена до интегралам від елементарних раціональних дробів.
Випадок 1. Знаменник має тільки дійсні різні корені, тобто розкладається на неповторним множники першого ступеня.
Рішення. Так як кожен з Двочленні входить в знаменник в першого ступеня, то дана правильна раціональна дріб може бути представлена у вигляді суми елементарних дробів першого типу:
Наводячи до спільного знаменника і прирівнюючи числители, отримаємо