теорема Безу
При розподілі многочлена f (x) = A0x n + A1x n -1 + # 133; + An на різницю х - а виходить сальдо конечне f (а).
Доведення. При розподілі f (x) на х - а приватним буде многочлен f1 (x), ступінь якого буде на одиницю нижче ступеня многочлена f (x) і залишок, який буде постійним числом: f (x) = (х - а) · f1 (x) + R. Переходячи до межі в лівій і правій частині цієї рівності при х → а. отримаємо R = f (а).
Якщо х = а - корінь многочлена, то f (а) = 0 і многочлен f (x) без остачі ділиться на різницю х - а й многочлен представляється у вигляді f (x) = (х - а) · f1 (x), де f1 (x) - многочлен.
Основна теорема алгебри
Будь-яка ціла раціональна функція f (x) має, принаймні, один корінь, дійсний або комплексний.
Теорема про розкладання многочлена на лінійні множники
Кратні коріння многочлена
Якщо в розкладанні многочлена n - го ступеня на лінійні множники f (x) = А0 · (х - а 1) · (х - а 2) · # 133; · (х - а n), деякі лінійні множники виявляться однаковими, то їх можна об'єднати , і тоді розкладання многочлена на множники буде мати вигляд. При цьому k1 + k2 + # 133; + Km = n. В цьому випадку корінь а1 називається коренем кратності k1. корінь А2 називається коренем кратності k2. і так далі.
Якщо многочлен має корінь а кратності k. то будемо вважати, що многочлен має k однакових коренів. Всякий многочлен n - го ступеня має рівно n коренів (дійсних або комплексних).
Розкладання многочлена на множники в разі комплексних коренів
Якщо многочлен f (x) з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь a + i · b. то він має і зв'язаний корінь a - i · b. У розкладанні f (x) = А0 · (х - а 1) · (х - а 2) · # 133; · (х - а n) комплексні корені входять попарно сполученими парами. Перемноживши лінійні множники, відповідні парі сполучених коренів, отримаємо тричлен другого ступеня з дійсними коефіцієнтами [x - (a + ib)] · [x + (a + ib)] = [(x - a) - ib] · [(x - a) + ib] = (x - a) 2 + b 2 = x 2 - 2 ax + a 2 + b 2 = x 2 + px + q де р = - 2 · а. q = а ² + b ² - дійсні числа. Якщо число a + i · b є коренем кратності k. то поєднане число a - i · b має бути коренем тієї ж кратності k. Так що поряд з лінійним множником х- (a + i · b) в розкладання многочлена входять стільки ж лінійних множників виду х- (a - i · b).
Таким чином, многочлен з дійсними коефіцієнтами розкладається на множники виду При цьому k1 + k2 + # 133; + 2s1 + # 133; + 2sm = n.
Розкладання правильних дробів на прості дроби для дійсних коренів
Розглянемо який - небудь множник (х - а) кратності k. що входить в розкладання знаменника Qn (x) = (x - a) k · Q1 (x) дроби, (n> m), де Q1 (x) вже на (х - а) не ділиться. Тоді дана правильна дріб може бути представлена у вигляді суми правильних дробів. Для доказу цього достатньо підібрати число А і многочлен Р1 (х) так, щоб виконувалося тотожність Pm (x) - Ak · Q1 (x) = (x - a) · P1 (x). В цьому випадку ліва частина цієї рівності має корінь, що дорівнює х = а і тому. З решти виділимо простий дріб і т. Д. Поки множник (х - а) зовсім не зникне з розкладу знаменника. Таким чином, в даному випадку множнику (х - а) k буде відповідати група з k простих дробів. Таке ж міркування по черзі застосовується до кожного з решти лінійних множників, поки в знаменнику не залишиться лінійних множників або в його розкладанні залишаться лише квадратичні множники.
Розкладання правильних дробів на найпростіші в разі квадратичного множника в знаменнику
Нехай знаменник правильного раціонального дробу має комплексний корінь. Так як зв'язаний корінь теж є коренем знаменника, то знаменник можна представити у вигляді Q (x) = (x 2 + px + q) m · Q1 (x), де Q1 (x) вже не ділиться на x 2 + p · x + q. Тоді правильна дріб може бути представлена у вигляді суми правильних дробів. Для доказу досить підібрати M і N і многочлен Р1 (х) так, щоб мало місце тотожність P (x) - (Mx + N) · Q1 (x) = (x 2 + px + q) m · P1 (x). Для цього необхідно і достатньо, щоб рівняння P (x) - (M · x + N) · Q1 (x) = 0 мало коріння a ± i · b. що і многочлен x 2 + p · x + q. Отже, P (a + ib) - (M · (a + ib) + N) · Q1 (a + ib) = 0 або. Звідси або. При цих значеннях M і N многочлен P (x) - (M · x + N) · Q1 (x) має коріння a ± i · b і без залишку розділиться на х - (a + i · b) і на х - ( a - i · b), і отже, на многочлен x 2 + p · x + q. Ступінь многочлена Р1 (х) менше ступеня знаменника, тому можна продовжити подальше розкладання. Застосовуючи до правильної раціональної дробу результати пунктів 6 та 7 цієї лекції, можна виділити послідовно всі найпростіші дроби, які відповідають усім коріння знаменника. Таким чином, якщо знаменник правильної раціональної дробу можна розкласти на множники, то дріб можна представити у вигляді Коефіцієнти А1. А2, # 133; ,В 1. В 2. ... можна визначити з наступних міркувань. Написане рівність є тотожність. Привівши дроби до спільного знаменника, одержимо тотожні многочлени в чисельнику справа і зліва. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х. отримаємо систему рівнянь для визначення цих невідомих коефіцієнтів А1. А2, # 133 ;, В1. В 2. # 133 ;. Цей метод знаходження коефіцієнтів називається методом невизначених коефіцієнтів.
Приклад інтегрування раціонального дробу
(Коріння знаменника дійсні і різні)
Знайти невизначений інтеграл. Рішення. Підінтегральний вираз розкладемо на найпростіші раціональні дроби. Використовуючи висновки доведених вище теорем, знайдемо значення невизначених коефіцієнтів,,. Таким чином, підінтегральний вираз в поданні найпростіших раціональних дробів матиме вигляд. І остаточно
Приклад інтегрування раціонального дробу
(Коріння знаменника дійсні і кратні)
Знайти невизначений інтеграл. Р і ш е н і е. Підінтегральної функції розкладемо на найпростіші. Якщо дроби, що стоять в правій частині, привести до спільного знаменника, то знаменники дробів в правій і лівій частинах будуть збігатися, значить, будуть збігатися і їх чисельники: x 3 + 6x 2 + 13x + 6 = A · (x + 2) 3 + B · (x - 2) + C · (x - 2) · (x + 2) + D · (x - 2) · (x + 2) 2. Два многочлена рівні тоді і тільки тоді, коли їх коефіцієнти при однакових ступенях х будуть збігатися. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х. отримаємо систему рівнянь Коефіцієнти А і В можна знайти не вирішуючи систему:,. З рівнянь системи далі маємо D = 0, C = 0. Таким чином, підінтегральна функція має розкладання і в цьому випадку.
Приклад інтегрування раціонального дробу (коріння комплексно не кратні)
Знайти невизначений інтеграл. Рішення. Підінтегральної функції розкладемо на найпростіші. Якщо дроби, що стоять в правій частині, привести до спільного знаменника, то знаменники дробів в правій і лівій частинах будуть збігатися, значить, будуть збігатися і їх чисельники: 2x 3 + 3x 2 + 3x + 2 = (Ax + B) · (x 2 + 1) + (Cx + D) · (x 2 + x + 1). Розкриємо дужки в правій частині цієї рівності і згрупуємо величини за ступенями: 2x 3 + 3x 2 + 3x + 2 = (A + C) · x 3 + (B + С + D) x 2 + (A + C + D) x + (B + D). Два многочлена рівні тоді і тільки тоді, коли їх коефіцієнти при однакових степенях х будуть збігатися. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х. отримаємо систему рівнянь Рішенням цієї системи є A = B = C = D = 1. Таким чином, підінтегральна функція має розкладання виду. Остаточно, в цьому випадку маємо
Застосування пакета MAPLE до інтегрування раціональних дробів
Питання для самоперевірки
- Як раціональну дріб розкласти на елементарні дроби?
- Що називається методом невизначених коефіцієнтів?
- До яких функцій призводить інтегрування раціональних дробів?
- Наведіть приклади елементарних функцій, первісні від яких не виражаються через елементарні функції.