Невизначений інтеграл, його властивості
Первісна функція і невизначений інтеграл
Функція F (x) називаетсяпервообразной функцією для даної функції f (x) на даному проміжку, якщо на цьому проміжку
Наприклад, функція F (x) = x 3 є первісною функції f (x) = 3x 2 на всій числовій осі, так як (x 3) / = 3x 2 при будь-якому x. Відзначимо, що разом з функцією F (x) = x 3 первісною для f (x) = 3x 2 є будь-яка функція виду Ф (х) = х 3 + С. де С - довільна постійна число.
Лемма про первісних
Якщо F1 (x) і F2 (x) - дві первісні для функції f (x) в деякому проміжку, то різниця між ними в цьому проміжку дорівнює постійному числу.
З цієї теореми випливає, що якщо відома якась первісна F (x) даної функції f (x). то ввесь люд первісних для f (x) можна записати у вигляді F (x) + C.
Вираз F (x) + C. де F (x) - первісна функції f (x) і С - довільна стала, називається невизначеним інтегралом від функції f (x) і позначається символом. причому f (x) називається підінтегральної функцією, f (x) dx - підінтегральний вираз,
х - змінною інтегрування; - знак невизначеного інтеграла.
Таким чином, за визначенням
Виникає питання: для будь-якої чи функції f (x) існує первісна, а значить, і невизначений інтеграл?
Властивості невизначеного інтеграла
1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції
2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює подинтегрального висловом
3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції з точністю до постійного доданка
де С - довільне число
4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла
де k - деяке число.
5. Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює такій же сумі інтегралів від цих функцій
Інтеграли від основних елементарних функцій