Інтегрування раціональних функцій (раціональних дробів)

Елементарними (найпростішими) раціональними дробами називають раціональні дроби чотирьох типів:

Примітка (бажане для більш повного розуміння тексту): показати \ приховати

Навіщо потрібно умова $ p ^ 2-4q <0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q <0$ означает, что $D <0$. Если $D <0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Наприклад, для вираження $ x ^ 2 + 5x + 10 $ отримаємо: $ p ^ 2-4q = 5 ^ 2-4 \ cdot 10 = -15 $. Так як $ p ^ 2-4q = -15 <0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

До речі сказати, для цієї перевірки зовсім не обов'язково, щоб коефіцієнт перед $ x ^ 2 $ дорівнював 1. Наприклад, для $ 5x ^ 2 + 7x-3 = 0 $ отримаємо: $ D = 7 ^ 2-4 \ cdot 5 \ cdot (-3) = 109 $. Так як $ D> 0 $, то вираз $ 5x ^ 2 + 7x-3 $ розкладені на множники.

Приклади раціональних дробів (правильних і неправильних), а також приклади розкладання раціонального дробу на елементарні можна знайти тут. Тут нас будуть цікавити лише питання їх інтегрування. Почнемо з інтегрування елементарних дробів. Отже, кожен з чотирьох типів зазначених вище елементарних дробів нескладно проинтегрировать, використовуючи формули, зазначені нижче. Нагадаю, що при інтегруванні дробів типу (2) і (4) передбачається $ n = 2,3,4, \ ldots $. Формули (3) і (4) вимагають виконання умови $ p ^ 2-4q <0$.

$, Після отриманий ІНТЕРАН розбивається на два. Перший буде обчислюватися за допомогою внесення під знак диференціала, а другий матиме вигляд $ I_n = \ int \ frac $. Цей інтеграл береться за допомогою рекурентного співвідношення

Обчислення такого інтеграла розібрано в прикладі №7 (див. Третю частину).

Схема обчислення інтегралів від раціональних функцій (раціональних дробів):

1. Якщо підінтегральна дріб є елементарною, то застосувати формули (1) - (4).
2. Якщо підінтегральна дріб не є елементарною, то уявити її у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати, використовуючи формули (1) - (4).

Зазначений вище алгоритм інтегрування раціональних дробів має незаперечне достоїнство - він універсальний. Тобто користуючись цим алгоритмом можна проінтегрувати будь-яку раціональну дріб. Саме тому майже всі заміни змінних в невизначеному інтегралі (підстановки Ейлера, Чебишева, універсальна тригонометрическая підстановка) робляться з таким розрахунком, щоб після неї заміни отримати під Інтералье раціональну дріб. А до неї вже застосувати алгоритм. Безпосереднє застосування цього алгоритму розберемо на прикладах, попередньо зробивши невелику примітка.

Формули (1) - (4) припускають, що коефіцієнт перед $ x $ (в формулах (1) і (2)) і коефіцієнт перед $ x ^ 2 $ (в формулах (3) і (4)) дорівнює одиниці. Але як бути, якщо цей коефіцієнт не дорівнює одиниці? У цьому випадку досить просто винести його за дужки: $ \ frac = \ frac \ right)> = \ fracx + \ frac >> $.

До речі сказати, це стосується не тільки елементарних дробів. Наприклад, якщо потрібно розкласти дріб $ \ frac $, то її представимо в такій формі:

У подальших прикладах я торкнуся випадок, коли коефіцієнт перед старшим членом многочлена в знаменнику НЕ дорівнює $ 1 $. Але кожен раз цей випадок буде дозволений за стандартною схемою: винести "заважає" коефіцієнт за дужки і перенести його в чисельник (або взагалі винести за знак інтеграла).

Перейдемо до прикладів. Перший приклад - тренувальний, на використання формул інтегрування елементарних дробів (поки що без використання формули №4, вона буде розглянута окремо).

1) Для знаходження інтеграла $ \ int \ frac $ можна відразу застосувати формулу (1).

В принципі, цей інтеграл нескладно отримати без механічного застосування формули (1). Якщо винести константу $ 7 $ за знак інтеграла і врахувати, що $ dx = d (x + 9) $, то отримаємо:

Для детальної інформації рекомедую подивитися тему "Інтегрування підстановкою (внесення під знак диференціала)". Там детально пояснюється, як вирішуються подібні інтеграли. До речі, формула (1) доводиться тими ж перетвореннями, що були застосовані в цьому пункті при вирішенні "вручну".

2) Знову є два шляхи: застосувати готову формулу або обійтися без неї. Якщо застосовувати формулу (2). то слід врахувати, що коефіцієнт перед $ x $ (число 4) доведеться прибрати. Для цього ону четвірку просто винесемо за дужки:

Тепер настала черга і для застосування формули (2):

Можна обійтися і без застосування формули (2). І навіть без винесення константи $ 4 $ за дужки. Якщо врахувати, що $ dx = \ fracd (4x + 19) $, то отримаємо:

3) Нам потрібно проінтегрувати дріб $ \ frac $. Ця дріб має структуру $ \ frac $, де $ M = 4 $, $ N = 7 $, $ p = 10 $, $ q = 34 $. Однак щоб переконатися, що це дійсно елементарна дріб третього типу, потрібно перевірити виконання умови $ p ^ 2-4q <0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 <0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\fracdx$. Первый путь – банально использовать формулу (3). Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

Вирішимо це ж приклад, але без використання готової формули. Спробуємо виділити в чисельнику похідну знаменника. Що це означає? Ми знаємо, що $ (x ^ 2 + 10x + 34) '= 2x + 10 $. Саме вираз $ 2x + 10 $ нам і належить виокремити в чисельнику. Поки що чисельник містить лише $ 4x + 7 $, але це ненадовго. Застосуємо до чисельника таке перетворення:

$$ 4x + 7 = 2 \ cdot 2x + 7 = 2 \ cdot (2x + 10-10) + 7 = 2 \ cdot (2x + 10) -2 \ cdot 10 + 7 = 2 \ cdot (2x + 10) -13. $$

Тепер в чисельнику з'явилося необхідне вираження $ 2x + 10 $. І наш інтеграл можна переписати в такому вигляді:

Розіб'ємо подинтегральную дріб на дві. Ну і, відповідно, сам інтеграл теж "роздвоївся":

Поговоримо спершу про перший інтеграл, тобто про $ \ int \ frac $. Так як $ d (x ^ 2 + 10x + 34) = (x ^ 2 + 10x + 34) 'dx = (2x + 10) dx $, то в чисельнику підінтегральної дробу розташований диференціал знаменника. Коротше кажучи, замість виразу $ (2x + 10) dx $ запишемо $ d (x ^ 2 + 10x + 34) $.

Тепер скажемо пару слів і про другий інтеграл. Виділимо в знаменнику повний квадрат: $ x ^ 2 + 10x + 34 = (x + 5) ^ 2 + 9 $. Крім того, врахуємо $ dx = d (x + 5) $. Тепер отриману нами раніше суму інтегралів можна переписати в дещо іншому вигляді:

Якщо в першому інтегралі зробити заміну $ u = x ^ 2 + 10x + 34 $, то він набуде вигляду $ \ int \ frac $ і візьметься простим застосуванням другий формули з таблиці невизначених інтегралів. Що ж стосується другого інтеграла, то для нього можна здійснити заміна $ u = x + 5 $, після якої він набуде вигляду $ \ int \ frac $. Це чистісінької води одинадцята формула з таблиці невизначених інтегралів. Отже, повертаючись до суми інтегралів, матимемо:

Ми отримали ту саму відповідь, що і при застосуванні формули (3). що, власне кажучи, не дивно. Взагалі, формула (3) доводиться тими ж методами, які ми застосовували для знаходження даного інтеграла. Вважаю, що у уважного Новомосковсктеля тут може виникнути одне питання, тому сформулюю його:

Якщо до інтеграла $ \ int \ frac $ застосовувати другу формулу з таблиці невизначених інтегралів. то ми отримаємо наступне:

Чому ж в рішенні був відсутній модуль?

Відповідь на питання №1

Питання зовсім закономірний. Модуль був відсутній лише тому, що вираз $ x ^ 2 + 10x + 34 $ при будь-якому $ x \ in R $ більше нуля. Це абсолютно нескладно показати декількома шляхами. Наприклад, так як $ x ^ 2 + 10x + 34 = (x + 5) ^ 2 + 9 $ і $ (x + 5) ^ 2 ≥ 0 $, то $ (x + 5) ^ 2 + 9> 0 $ . Можна розсудити і по-іншому, не привертаючи виділення повного квадрата. Так як $ 10 ^ 2-4 \ cdot 34 = -16 <0$, то $x^2+10x+34> 0 $ при будь-якому $ x \ in R $ (якщо ця логічний ланцюжок викликає здивування, раджу подивитися графічний метод розв'язання квадратних нерівностей). У будь-якому випадку, так як $ x ^ 2 + 10x + 34> 0 $, то $ | x ^ 2 + 10x + 34 | = x ^ 2 + 10x + 34 $, тобто замість модуля можна використовувати звичайні дужки.

Всі пункти прикладу №1 вирішені, залишилося лише записати відповідь.

Знайти інтеграл $ \ int \ fracdx $.

На перший погляд подинтегральая дріб $ \ frac $ дуже схожа на елементарну дріб третього типу, тобто на $ \ frac $. Здається, що едінcтвенное відмінність - це коефіцієнт $ 3 $ перед $ x ^ 2 $, але ж коефіцієнт і прибрати недовго (за дужки винести). Однак ця подібність здається. Для дробу $ \ frac $ обов'язковим є умова $ p ^ 2-4q <0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

У нас коефіцієнт перед $ x ^ 2 $ не дорівнює одиниці, тому перевірити умова $ p ^ 2-4q <0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D> 0 $, тому вираз $ 3x ^ 2-5x-2 $ можна розкласти на множники. А це означає, що дріб $ \ frac $ не є елементаной дробом третього типу, і застосовувати до інтеграла $ \ int \ fracdx $ формулу (3) можна.

Ну що ж, якщо задана раціональний дріб не є елементарною, то її потрібно представити у вигляді суми елементарних дробів, а потім проінтегрувати. Коротше кажучи, слід скористатися схемою інтегрування раціональних дробів. Як розкласти раціональну дріб на елементарні докладно написано тут. Почнемо з того, що розкладемо на множники знаменник:

Подинтеральную дріб представимо в такому вигляді:

Тепер розкладемо дріб $ \ fracx + 4> \ right) (x-2)> $ на елементарні:

Щоб знайти коефіцієнти $ A $ і $ B $ є два стандартних шляху: метод невизначених коефіцієнтів і метод підстановки приватних значень. Застосуємо метод підстановки приватних значень, підставляючи $ x = 2 $, а потім $ x = - \ frac $:

Так як коефіцієнти знайдені, залишилося лише записати готове розкладання:

В принципі, можна такий запис залишити, але мені до душі більш акуратний варіант:

Повертаючись до вихідного інтеграла, підставимо в нього отримане розкладання. Потім розіб'ємо інтеграл на два, і до кожного застосуємо формулу (1). Константи я вважаю за краще відразу виносити за знак інтеграла:

Нам потрібно проінтегрувати дріб $ \ frac $. У чисельнику розташований многочлен другого ступеня, а в знаменнику - многочлен третього ступеня. Так як ступінь многочлена в чисельнику менше ступеня многочлена в знаменнику, тобто $ 2 <3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

Нам залишиться тільки розбити заданий інтеграл на три, і до кожного застосувати формулу (1). Константи я вважаю за краще відразу виносити за знак інтеграла:

Продовження розбору прикладів цієї теми розташоване у другій частині.

Схожі статті

• інтегрування дробів

• Інтегрування раціональних дробів

• Інтегрування найпростіших раціональних дробів