Знайдемо обмеження на Звернемо увагу на те, що ліва частина нерівності має сенс за однієї умови: обидва вирази і зобов'язані бути позитивними. А це означає, що кожне з виразів: і повинні мати однаковий знак: або обидва позитивні, або обидва негативні. Така умова буде виконана, якщо буде вірним нерівність
Оцінимо Очевидно, що т. Е. Для будь-якого
Отже, при будь-якому значенні Звідси висновок: вираз також має бути негативним. Остання умова буде виконана, якщо має місце нерівність Вирішимо його:
Тепер знайдемо знак вираження Вище було виявлено, що Це означає, що
Ясно, що Отже,
Коли нам відомий знак кожного з виражень і ми маємо право переписати заданий нерівність так:
Воно рівносильно ланцюжку наступних нерівностей:
Остання нерівність вірно при всіх значеннях змінної так як
Отже, заданий нерівність вірно при всіх допустимих значеннях т. Е при
Джерело: А. Ларін: Тре-ні-ро-валь-ний ва-ри-ант № 4 *.
Доведемо, що при будь-якому значенні
При функція - зростаюча як твір двох зростаючих функцій, які приймають тільки невід'ємні значення. На цьому проміжку неперервна функція прийме найменше значення в точці 0, найбільше значення - в точці Покажемо, що згадане найбільше значення функції буде менше 4. Дійсно,
Зауваження: з метою усунення громіздких записів рішення нерівності можна вести і так:
Вирішимо дві системи:
Об'єднавши два отриманих результату, будемо мати:
Джерело: А. Ларін: Тре-ні-ро-валь-ний ва-ри-ант № 82.
Зауважимо, що при всіх значеннях x. оскільки Отже,
Отже, шукані значення x.
Джерело: А. Ларін: Тре-ні-ро-валь-ний ва-ри-ант № 83.
Знайдемо обмеження на x. Перш зауважимо, що підстава логарифма позитивно при будь-якому так як
Отже, дозволеними значеннями x є числа з проміжку Для таких x:
Отримане нерівність з урахуванням обмежень на х вирішимо методом інтервалів.
Знак лівій частині нерівності
з урахуванням обмежень
Отже, рішення вихідної нерівності:
Джерело: А. Ларін: Тре-ні-ро-валь-ний ва-ри-ант № 86.
Зауважимо, що при будь-якому оскільки
Аналогічно тому що
Перепишемо задане рівняння так:
Введемо нову змінну: нехай Тоді:
Далі будемо мати:
Рішеннями нерівності є елементи множини
Джерело: А. Ларін: Тре-ні-ро-валь-ний ва-ри-ант № 87.
Знайдемо обмеження на x.
Не важко довести, що
Вирішимо заданий нерівність на безлічі методом раціоналізації.
Знайдемо коріння чисельника останнього нерівності.
Так як шукані значення змінної менше то для всіх Отже на M.
Рішення останнього нерівності отримаємо методом інтервалів.
Введемо нові змінні. Нехай Тоді:
Переходимо до змінної x.
1) Зауважимо, що: це рівняння звертається в істинне висловлення при x = 1,5; функція - зростаюча в області визначення; функція ж - спадна в своїй області визначення; при x = 1,5 обидві ці функції визначені.
Зі сказаного висновок: відповідно до теореми про корінь, рівняння не може мати інших коренів, крім кореня 1,5. Отже, 1,5 - частина рішень вихідного нерівності.
2) Вирішимо нерівність
Таким чином, рішення заданої нерівності: