Теорія з вищої математики
При обчисленні похідної, наявність формул для похідної суми, різниці, твори, приватного і композиції - всіх тих операцій, за допомогою яких елементарні функції утворюються з мінімального набору - призводить до того, що похідна будь елементарної функції знову є елементарною функцією. При знаходженні невизначених інтегралів, проте, формул для первісної твори, приватного і композиції немає. Це призводить до такого стану, що аж ніяк не для будь-якої елементарної підінтегральної функції можна "взяти інтеграл", тобто висловити деяку первісну для підінтегральної функції у вигляді деякого виразу, що використовує лише елементарні функції. Справа не в тому, що поки що не придумано способу це зробити, а в принциповій неможливості: ніяка з первісних в разі "не береться" інтеграла ніяким чином не може бути виражена як комбінація елементарних функцій, пов'язаних знаками арифметичних дій і знаками композиції. Не слід думати, що якщо таке подання неможливо, то і функції такої немає 1. можна вважати, що для її вираження просто не вистачає запасу розглянутих операцій або запасу розглянутих вихідних функцій, і їх треба розширити, тобто вийти за рамки безлічі функцій, які називаються елементарними 2. у науці і її додатках у техніці, економіці та інших дисциплінах застосовуються багато неелементарні функції; часто їх називають спеціальними. До спеціальних функцій відносяться і багато первісні для елементарних функцій, причому часто не такі вже й "складною" структури. Інтеграли, що виражаються через такі первісні, називаються (за традицією, що бере початок в 18 столітті) неберущімся. Отже, інтеграл НЕ берет. якщо функція не є елементарною. Наведемо приклади неберущімся інтегралів і назви первісних - спеціальних функцій, пов'язаних з цими інтегралами.
Приклад 1. 8 неберущімся є інтеграл
Тут одна з первісних, яку ми позначили. виділяється з усього набору первісних умовою. Функція називається функцією Лапласа. Вона широко застосовується в теорії ймовірностей, фізики, математичної та прикладної статистики та інших розділах науки і її додатків. Для обчислення значень функції Лапласа складені таблиці, наявні в багатьох підручниках, задачниках і довідниках по теорії ймовірностей і статистиці. Можливість обчислення передбачена також на багатьох моделях калькуляторів (не самих дешевих) і вже, обов'язково, на тих, що призначені для статистичної обробки числового матеріалу. Так що, з практичної точки зору, користуватися функцією Лапласа нітрохи не складніше, ніж, скажімо, синусом, арктангенсом або натуральним логарифмом, які ми умовно відносимо до елементарних функцій.
Приклад 1. 9 Чи не береться також інтеграл
Довизначити підінтегральної функції. вважаючи її рівною 1 при. Відповідно до того, що. доопределённая функція буде неперервна на всій числовій осі. Серед її первісних виділимо ту, для якої. Ця Неелементарні функція називається інтегральним синусом і позначається. Саме її ми використовували в наведеній вище формулі.
Приклад 1. 10 Ще один не береться інтеграл:
Одна з первісних - та, що ми використовували в правій частині і позначили - називається інтегральним косинусом.
--
це теж не береться інтеграл. Одна з первісних, яку ми позначили. - спеціальна функція, що називається інтегральної експонентою.
Приклад 1. 12 Чи не береться інтеграл
одна з первісних,. називається інтегральним логарифмом.
Використовуючи спеціальні функції, задані попередніми прикладами, ми за допомогою вивчених вище правил інтегрування можемо висловлювати через ці функції і інші інтеграли. Наведемо такий приклад.
Приклад 1. 13 Висловимо через функцію Лапласа наступний інтеграл:
Для цього зробимо заміну змінної.
Зауважимо, що та первісна для. для котрої . позначається. Функція називається в теорії ймовірностей і статистиці функцією помилок.
Вправа 1. 3 Виразіть функцію помилок через функцію Лапласа і навпаки, функцію Лапласа через функцію помилок.
Приклад 1. 14 К інтегралу попереднього прикладу можна звести і тим самим висловити через функцію Лапласа, наприклад, такий інтеграл:
Для обчислення ми застосували формулу інтегрування частинами.
Приклад 1. 15 Обчислимо інтеграл від інтегральної експоненти. Зауважимо, що за визначенням первісної. Застосовуючи формулу інтегрування частинами, отримуємо:
Крім наведених вище, в додатках зустрічаються і багато інших неберущімся інтеграли, наприклад:
Ці чотири інтеграла називаються інтегралами Френеля.
Вправа 1. 4 Зробивши відповідну заміну змінного, висловіть останні два з дитинства інтегралів Френеля через функції і. які стоять в правих частинах перших двох інтегралів Френеля.
Чи не беруться також інтеграли
і багато інших.
Проте, для багатьох класів інтегралів, що найчастіше зустрічаються в додатках, первісну все ж вдається висловити через елементарні функції. У наступному розділі ми вивчимо такі класи інтегралів.
Вправа 1. 5 За допомогою відповідних замін змінного, доведіть наступні співвідношення:
(Насправді функції і визначаються так, що обидві постійні рівні 0).
Математика, вишка, вища математика, математика онлайн, вишка онлайн, онлайн математика, онлайн рішення математики, хід рішення, процес вирішення, рішення, завдання, завдання з математики, математичні задачі, рішення математики онлайн, рішення математики online, online рішення математики, рішення вищої математики, рішення вищої математики онлайн, матриці, рішення матриць онлайн, векторна алгебра онлайн, рішення векторів онлайн, система лінійних рівнянь, метод Крамера, метод Гаусса, метод оберненої матриці, рівняння, системи рівнянь, вироб ні, межі, інтеграли, функція, невизначений інтеграл, визначений інтеграл, рішення інтегралів, обчислення інтегралів, рішення похідних, інтеграли онлайн, похідні онлайн, межі онлайн, межа функції, межа послідовності, вищі похідні, похідна неявної функції