Передумови для перетворення математики в теоретичну науку. який ми знаходимо її в "Засадах" Евкліда. вперше виникли в Стародавній Греції. Особливо важливу роль в формуванні давньогрецької математики зіграла пифагорейская школа. Однак може виникнути питання: чому, досліджуючи, коли і як виникла математика як наука, ми звертаємося до давньогрецьких мислителів, в той час як вже до греків, у Вавилоні і Єгипті, існувала математика і, отже, тут і слід шукати її витоки?
Дійсно, математика виникла на Стародавньому Сході, мабуть, задовго до греків. Але особливістю давньоєгипетської і вавілонської математики була відсутність в ній єдиної системи доказів. яка вперше з'являється саме у греків. "Велика відмінність між грецькою і давньосхідної наукою, # 151; пише угорський історик науки Арпад Сабо, # 151; полягає саме в тому, що грецька математика являє собою систему знань, майстерно побудовану за допомогою дедуктивного методу. в той час як давньосхідні тексти математичного змісту містять тільки цікаві інструкції, так би мовити, рецепти і часто приклади того, як треба вирішувати певне завдання ". Давньосхідна математика являє собою сукупність певних правил обчислення; ту обставину, що стародавні єгиптяни і вавилоняни могли здійснювати вельми складні обчислювальні операції, нічого не змінює в загальному характері їх математики.
Ці особливості давньосхідної математики пояснюються тим, що вона носила практично-прикладний характер; за допомогою арифметики єгипетські писарі вирішували завдання "про розрахунок заробітної плати, про хліб або пиві і т.д.", а за допомогою геометрії обчислювали площі або обсяги. В обох випадках обчислювач повинен був знати правила, за якими слід було проводити обчислення.
В цьому відношенні характерні спеціальні тексти, призначені для переписувачів, які займалися вирішенням математичних завдань. Писарі повинні були знати всі чисельні "коефіцієнти", потрібні їм для обчислень. У списках "коефіцієнтів" містяться "коефіцієнти" для "цеглин", для "стін", потім для "трикутника", для "сегмента кола", далі для "міді", "срібла", "золота", для "вантажного судна" , "ячменю", для "діагоналі", "різання очерету" і т.д.
Треба відзначити, що в Древній Греції так само, як і в Вавилоні і Єгипті, розроблялася техніка обчислень, без якої неможливо було вирішувати практичні завдання будівництва, військової справи, торгівлі, мореплавства і т.д. Але важливо мати на увазі, що самі греки називали прийоми обчислювальної математики та алгебри логістикою (logistika - рахункове мистецтво, техніка числення) і відрізняли логістику як мистецтво обчислення від теоретичної математики. Правила обчислень, стало бути, розроблялися в Греції точно так же, як і на Сході, і, звичайно, греки при цьому могли запозичувати дуже багато як у єгиптян, так і особливо у вавилонян.
Про логістиці греків, як і про математичних обчисленнях на Сході, можна сказати, що вона носила практично-прикладний характер. До складу логістики входили: рахунок, арифметичні дії з цілими числами аж до вилучення квадратних і кубічних коренів, дії на рахунковому приладі # 151; абаці, операції з дробами і прийоми чисельного рішення задач на рівняння першого та другого ступеня. У логістиці розглядалися також додатки арифметики до землемерию і іншим завданням повсякденному житті. Самі греки відрізняли логістику від теоретичної арифметики, яку вони називали просто арифметикою. Правила логістики викладалися догматично і, взагалі кажучи, не забезпечувалися доказами так само, як це було прийнято в єгипетському папірусі.
Таким чином, в Греції мала місце як практично-прикладна математика (мистецтво числення), подібна до єгипетської та вавілонської, так і теоретична математика, котра передбачала систематичний зв'язок математичних висловлювань, строгий перехід від одного речення до іншого за допомогою докази. Саме математика як систематична теорія була вперше створена в Греції.
Треба думати, що становлення математики як систематичної теорії, якою ми її знаходимо в евклідових "Засадах". являло собою тривалий процес: від перших грецьких математиків (кінець VI-V ст. до н.е.) до III в. до н.е. коли були написані "Почала", пройшло більше двохсот років бурхливого розвитку грецької науки. Однак вже у ранніх піфагорійців. тобто на перших етапах становлення грецької математики, ми можемо виявити такі специфічні особливості, які принципово відрізняють їх підхід до математики від стародавнього.
Перш за все такою особливістю є нове розуміння сенсу і мети математичного знання, інше розуміння числа. за допомогою числа піфагорійці не просто вирішують практичні завдання, а хочуть пояснити природу всього сущого. Вони прагнуть тому осягнути сутність чисел і числових відносин, бо через неї сподіваються зрозуміти сутність світобудови. Так виникає перша в історії спроба осмислити число як міросозідающего і смислоутворюючий елемент.
Те, що у вавилонян і єгиптян виступало всього лише як засіб, піфагорійці перетворили в спеціальний предмет дослідження, тобто в ціль останнього.
Піфагорійці першими підняли математику до раніше невідомого їй рангу: числа і числові відношення вони стали розглядати як ключ до розуміння всесвіту і її структури. Вони вперше прийшли до переконання, що "книга природи написана мовою математики". як через майже два тисячоліття висловив цю думку Галілей.
Для уявлень про науку, як вони склалися до XVII # 151; XVIII ст. особливо у філософів епохи Просвітництва, характерно переконання в тому, що наука по своїй суті протилежна релігії. Це уявлення відображає той період в розвитку науки, коли вченим доводилося вести боротьбу з релігією за можливість вільного наукового дослідження. Але стосовно до інших періодів розвитку науки це уявлення виявляється не завжди справедливим.
Історично наукове знання вступало в найрізноманітніші # 151; і часом досить несподівані # 151; відносини з міфологічної, релігійної та художньої формами свідомості. Так, переміщення математичних досліджень зі сфери практично-прикладний в сферу філософсько-теоретичну, ще не відокремилась від релігійно-містичного сприйняття світу, послужило тим історичним фактором, завдяки якому математика перетворилася в теоретичну науку.
Немає нічого дивного в тому, що мислителі, вперше спробували не просто технічно оперувати з числами (тобто обчислювати), але зрозуміти саму сутність числа, сутність безлічі і характер відносин різних множин один до одного, вирішували це завдання спочатку в формі пояснення всієї структури світобудови за допомогою числа як першооснови.
Перш ніж з'явилася математика як теоретична система, виникло вчення про число як деякому божественному початку світу, і це, здавалося б, не математичне, а філософсько-теоретичне вчення зіграло роль посередника між давньої східної математикою як зборами зразків для вирішення окремих практичних завдань і давньогрецької математикою як системою положень, суворо пов'язаних між собою за допомогою докази.