Ряд Фур'є кусочно-безперервною, кусочно-монотонної й обмеженої на інтервалі (-l; l) функції сходиться на всій числовій осі.
Сума ряду Фур'є S (x).- є періодичною функцією з періодом 2l. Функція u (x) називається періодичною з періодом T (або T-періодичної), якщо для всіх x області R, u (x + T) = u (x).
- на інтервалі (-l; l) збігається з функцією f (x), за винятком точок розриву
- в точках розриву (першого роду, тому що функція обмежена) функції f (x) і на кінцях інтервалу приймає середні значення:
.
Кажуть, що функція розкладається в ряд Фур'є на інтервалі (-l; l):.
Якщо f (x) - парна функція, то в її розкладанні беруть участь тільки парні функції, тобто bn = 0.
Якщо f (x) - непарна функція, то в її розкладанні беруть участь тільки непарні функції, тобто аn = 0
Поруч Фур'є функції f (x) на інтервалі (0; l) по косинусам кратних дуг називається ряд:
, де
.
Поруч Фур'є функції f (x) на інтервалі (0; l) по синусах кратних дуг називається ряд:
, де.
Сума ряду Фур'є по косинусам кратних дуг є парною періодичною функцією з періодом 2l. збігається з f (x) на інтервалі (0; l) в точках безперервності.
Сума ряду Фур'є по синусах кратних дуг є непарною періодичною функцією з періодом 2l. збігається з f (x) на інтервалі (0; l) в точках безперервності.
Ряд Фур'є для даної функції на даному інтервалі має властивість єдиності, тобто якщо розкладання отримана будь-яким іншим способом, ніж використання формул, наприклад, за допомогою підбору коефіцієнтів, то ці коефіцієнти збігаються з обчисленими за формулами.
Приклад №1. Розкласти функцію f (x) = 1:
а) в повний ряд Фур'є на інтервалі (-π; π);
б) в ряд по синусах кратних дуг на інтервалі (0; π); побудувати графік отриманого ряду Фур'є
Рішення.
а) Розкладання в ряд Фур'є на інтервалі (-π; π) має вигляд:
,
причому всі коефіцієнти bn = 0, тому що дана функція - парна; таким чином,
Очевидно, рівність буде виконано, якщо прийняти
а0 = 2, а 1 = а 2 = а3 = ... = 0
В силу властивості єдиності це і є шукані коефіцієнти. Таким чином, шукане розкладання: або просто 1 = 1.
В такому випадку, коли ряд тотожно збігається зі своєю функцією, графік ряду Фур'є збігається з графіком функції на всій числовій прямій.
б) Розкладання на інтервалі (0; π) по синусах кратних дуг має вигляд:
Підібрати коефіцієнти так, щоб рівність тотожне виконувалося, очевидно, неможливо. Скористаємося формулою для обчислення коефіцієнтів:
Таким чином, для парних n (n = 2k) маємо bn = 0, для непарних (n = 2k -1) -
Остаточно,.
Побудуємо графік отриманого ряду Фур'є, скориставшись його властивостями (див. Вище).
Перш за все, будуємо графік даної функції на заданому інтервалі. Далі, скориставшись непарні суми ряду, продовжуємо графік симетрично початку координат:
Продовжуємо періодичним чином на всій числовій осі:
І нарешті, в точках розриву заповнюємо середні (між правим і лівим межею) значення:
Приклад №2. Розкласти функцію на інтервалі (0; 6) по синусах кратних дуг
Рішення. Шукане розкладання має вигляд:
Оскільки і ліва, і права частини рівності містять тільки функції sin від різних аргументів, слід перевірити, чи збігаються при будь-яких значеннях n (натуральних!) Аргументи синусів в лівій і правій частинах рівності:
або, звідки n = 18. Значить, таке доданок міститься в правій частині і коефіцієнт при ньому повинен збігатися з коефіцієнтом в лівій частині: b18 = 1;
або, звідки n = 4. Значить, b4 = -5.
Таким чином, за допомогою підбору коефіцієнтів вдалося отримати шукане розкладання:
Приклад №3. Розкласти в ряд Фур'є функцію
Рішення. Спочатку обчислюємо T = 4 і ω = 2π / 4 = π / 2. тепер знаходимо
Перший інтеграл знаходимо
Другий інтеграл беремо по частинах, вибираючи u = 3x, dv = cos (πnx / 2), тоді du = 3dx, v = sin (πnx / 2) / (πn / 2). отримуємо
Отже, для n = 1, 3, 5. an = 2 / (π 2 n 2). а для n = 2, 4, 6. an = 0.
аналогічно знаходимо
У підсумку отримуємо розкладання