Класифікація сигналів. Їх характеристики.
Під сигналом розуміють фізичний процес, який здійснює перенесення інформації в часі і просторі. Сигнали описуються математичними моделями. відображають загальні властивості різних по фізичній природі процесів. Найчастіше сигнали представляються функціональними залежностями, в яких аргументом є час або деяка просторова змінна. Функції, що описують сигнали, можуть приймати як речові. так і комплексні значення.
Сигнал, що описується функцією однієї змінної, називається одновимірним. а сигнал, що описується функцією незалежних змінних - багатовимірним. Наприклад, яскравість зображення - двовимірний сигнал.
Сигнал називається казуальних. якщо він має точку відліку (початок в часі).
Фінітні сигнали - це сигнали кінцевої тривалості, тобто існуючі на кінцевому тимчасовому інтервалі. Вони відмінні від нуля на цьому інтервалі і дорівнюють нулю за його межами.
Сигнали також бувають (рис 2):
- дискретні в часі;
- квантовані за величиною і безперервні в часі;
- квантовані за величиною і дискретні в часі (цифрові).
a) безперервні сигнали б) дискретні в часі сигнали
в) сигнали, квантовані за величиною г) сигнали, квантовані по
і безперервні в часі величиною і дискретні в часі
Рис 2. Види сигналів.
Інший ознака класифікації сигналів заснований на можливості або неможливості передбачення точних значень сигналу в будь-який момент часу або в будь-якій точці просторової координати. Відповідно, сигнали, для яких можливо вказане пророкування, називаються детермінованими. а сигнали, для яких неможливо точно передбачити значення - випадковими. Випадкові сигнали описуються випадковими функціями, значення яких при кожному даному значенні аргументу представляються випадковими величинами. Випадкову функцію часу називають випадковим процесом. При одному спостереженні випадкового процесу отримують певну функціональну залежність, яку називають реалізацією. Прикладом реалізації випадкового процесу може служити відрізок сигналу, зареєстрований на виході мікрофона при проголошенні будь-якого шиплячого звуку. Прикладом детермінованого сигналу є гармонійне коливання.
Якщо випадковий сигнал носить імовірнісний характер, то на підставі методів теорії ймовірності можна визначити його статистичні характеристики.
Імовірність того, що величина потрапляє в заданий інтервал, визначається виразом:
де - межі можливих значень;
- являє собою диференційний закон розподілу випадкової величини і називається одномірної щільністю ймовірності;
- інтегральна функція розподілу випадкової величини.
Для практичних застосувань важливі такі статистичні характеристики випадкової величини:
1) Математичне сподівання випадкової величини:
якщо події рівноймовірно, то математичне сподівання дорівнює середньому арифметичному
2) Дисперсія випадкової величини (відхилення від середнього):
якщо події рівноймовірно:
3) Середнє квадратичне відхилення (СКО):
Стаціонарним процесом називається процес, якщо його -мірний закон розподілу залежить від інтервалу часу, але не залежить від положення на числовій осі. Для строго стаціонарних процесів математичне очікування і дисперсія не залежать від часу.
При розгляді випадкових величин слід розрізняти статистичні характеристики, певні за сукупністю і за часом. У першому випадку характеристики визначаються на підставі спостереження над багатьма однаковими об'єктами в один і той же момент часу, а в другому випадку - на підставі спостереження над одним об'єктом протягом досить тривалого часу. Випадковий процес називається ергодичним. якщо при визначенні будь-яких статистичних характеристик усереднення за сукупністю і за вибіркою одно усереднення за часом.
Кореляція - величина схожості двох сигналів. Якщо порівнюються два різних сигналу, то мірою їх схожості є взаємно-кореляційна функція. Якщо сигнал порівнюється сам з собою, то ступінь схожості визначається автокорреляционной функцією.
Основними характеристиками детермінованих сигналів є його енергетичні характеристики.
Енергетичні характеристики сигналів:
1. Миттєва (поточна) потужність:. (5)
3. Середня потужність на інтервалі:
4. Якщо сигнал дорівнює сумі двох сигналів:
Взаємна енергія і потужність двох сигналів характеризують ступінь схожості двох сигналів.
5. Якщо сигнали збігаються, взаємна енергія збільшується в 4 рази, і такі системи називаються когерентними:
6. Якщо взаємна потужність або взаємна енергія двох сигналів дорівнює нулю (тобто або) то такі сигнали називають ортогональними. З ортогональности по енергії завжди слід ортогональность по потужності, але не навпаки:
7. Якщо сигнали в повному обсязі збігаються, то вони називаються частково збігаються сигналами.
При цифровій обробці сигналів часто використовують такі спеціальні функції як функція Хевісайда і -функція Дірака
1) Функція одиничного сигналу (функція Хевісайда) визначається:
Використовується при створенні сигналів кінцевої тривалості:
В MATLAB цю функцію можна змоделювати за допомогою оператора порівняння.
2) -функція або функція Дірака - нескінченно вузький імпульс з нескінченної амплітудою і одиничною площею:
Важлива властивість -функції - її фільтруюче властивість:
Сигнал на інтервалі може бути записаний у формі узагальненого ряду Фур'є:
Якщо - вектор, то останній вираз можна інтерпретувати як розкладання по деякому базису, а коефіцієнти можуть розглядатися як проекції вектора на координатні осі, задані системою функцій, що утворюють базис.
Для того щоб розкладання було можливо, вихідний сигнал і система функцій повинні відповідати певним умовам:
По перше . сигнал повинен належати безлічі квадратично-інтегрованих на відрізку сигналів:
Таке безліч сигналів утворює простір сигналів. Відрізок інтегрованості може бути як кінцевим, так і нескінченним інтервалом. Простір замкнуто щодо лінійних операцій, тобто якщо і, то і. Тому його називають лінейнимвекторним простором. Сигнали і розглядаються як вектори в лінійному просторі, для яких визначений скалярний твір:
і норма вектора (довжина вектора):. (4)
Для скалярного твори справедливо співвідношення, зване нерівністю Коші-Буняковського:
Ставлення визначає косинус кута між сигналами (векторами).
По-друге . базисні функції повинні бути попарно ортогональними. тобто
Якщо базисні функції системи має одиничну норму, то вони утворює ортонормованій базис.
При виконанні зазначених умов коефіцієнти узагальненого ряду Фур'є знаходяться наступним чином:
Узагальнений ряд Фур'є містить нескінченне число членів. На практиці доводиться обмежувати ряд кінцевим числом членів. Це призводить до появи помилки апроксимації. .
Зазвичай розглядають норму помилки. (8)
Одним з важливих властивостей базисних функцій є повнота. Базисні функції утворюють повну систему, якщо норма помилки з ростом зменшується. Найбільш відомою є тригонометрическая система базисних функцій.
Інтерес до пошуку інших систем функцій обумовлений тим, що норма помилки апроксимації для інших систем може стати менше при одному і тому ж числі членів ряду. Вибір базису обумовлений специфікою розв'язуваної задачі.
Рис 1. Система мультиплікативно-ортогональних функцій.
Якщо два прямокутних імпульсу не перекриваються в часі, така система ортогональна:
Коефіцієнти ряду Фур'є:
Вже згадана система мультиплікативно-ортогональних функцій є повною тільки для східчастих функцій з шириною ступені.