На цьому уроці ми будемо вирішувати лінійні і квадратні нерівності підвищеної складності. Спочатку згадаємо, що таке лінійні і квадратні нерівності. Згадаймо все методи їх вирішення і властивості квадратичної функції і зведемо ці дані в таблицю. Далі будемо вирішувати нерівності підвищеної складності.
Тема: Раціональні нерівності та їх системи
Урок: Рішення лінійних і квадратних нерівностей
1. Визначення лінійного нерівності
Лінійні нерівності - це нерівності виду і вони вирішуються двома способами: еквівалентними перетвореннями або за допомогою графіка функції. Розглянемо другий спосіб на прикладах:
2. Рішення лінійного нерівності графічним способом
1. Вирішити нерівність
Побудуємо графік функції. Графіком є пряма, вона перетинає вісь oy в точці 1, вісь ox в т. Корінь функції розбиває вісь ox на два різних проміжку. На першому проміжку функція негативна, на другому - позитивна.
Цього достатньо, щоб вирішити лінійне нерівність.
Лінійні нерівності ефективно вирішуються шляхом вибору інтервалів, на яких функція зберігає знак, т. Е. До кореня і після кореня. Рішенням лінійного нерівності, як правило, є промінь.
3. Рішення квадратного нерівності графічним способом
Розглянемо квадратне нерівність
Воно вирішується за допомогою властивостей квадратичної функції
Розглянемо на прикладі.
2. Вирішити нерівність
Розглянемо функцію Побудуємо її графік, для цього спочатку знайдемо коріння. По теоремі Вієта
Схематично зобразимо параболу і визначимо інтервали знакопостоянства і знаки на них. Гілки параболи спрямовані вгору.
Поза інтервалу коренів функція позитивна, всередині інтервалу коренів - негативна.
Розглянемо квадратичну функцію і її властивості в загальному вигляді.
4. Квадратична функція в загальному вигляді, D> 0
Функція має вигляд
значить, коріння квадратного тричлена різні,
Графіком квадратичної функції є парабола, що перетинає вісь ox в точках з абсциссами
гілки параболи спрямовані вгору.
Поза інтервалу коренів функція має позитивний знак, всередині інтервалу коренів - негативний.
Що можна сказати про функції, якщо Насамперед, що вона розкладається на лінійні множники:
Також для неї справедлива теорема Вієта:
Знайдемо координати вершини параболи.
Для квадратичної функції є два можливих варіанти нерівностей:
Безліч значень функції - промінь від в позитивному напрямку. Точка перетину з віссю oy - т ..
5. Квадратична функція в загальному вигляді, D = 0
Як і в попередньому випадку, многочлен розкладається на множники.
Графік функції - парабола, гілки спрямовані вгору.
Парабола стосується осі ox в одній точці, яка і є вершиною параболи.
Розглянемо можливі варіанти нерівностей:
Безліч значень функції:
Графік функції перетинається з віссю oy в т.
6. Квадратична функція в загальному вигляді, D
означає, що рівняння не має коренів, тричлен не можна розкласти на множники і не виконується теорема Вієта.
Знайдемо координати вершини:
Схематично зобразимо графік - параболу, гілки спрямовані вгору.
У цьому випадку часто допускається стандартна помилка - немає коренів, значить, немає рішень. Корній немає у квадратного рівняння, а рішенням нерівності є будь-яке дійсне число.
Безліч значень функції
Для більш глибокого розгляду рекомендується самостійно вивчити випадки, коли
Необхідно побудувати графіки і розписати рішення стандартних нерівностей самостійно.
7. Рішення задач
Ми докладно розглянули властивості квадратичної функції, які лежать в основі рішення задач.
1. Знайти область визначення функції.
Область визначення функції задається нерівністю т. К. Тричлен знаходиться під коренем і в знаменнику.
Помножимо обидві частини нерівності на.
Розглянемо функцію знайдемо її коріння.
По теоремі Вієта
Зобразимо графік функції. Точки -2 і 1 виколоті, т. К. Нерівність суворе.
Поставленому умові задовольняє проміжок всередині інтервалу коренів.
Ми побачили на прикладі, що багато завдань зводяться до вирішення квадратного рівняння.
8. Рішення нерівності з параметром
2. При яких значеннях p дане рівняння має
два різних кореня?
не має коренів?
Якщо p приймає конкретне значення, ми маємо конкретний квадратний тричлен з конкретним значенням дискримінанту,
Знайдемо коріння по теоремі Вієта.
Розглянемо вісь p і графік функції Графіком є парабола, гілки спрямовані вгору.
Функція зберігає позитивний знак поза інтервалу коренів, негативний знак - всередині інтервалу.
Відповідь: Рівняння має
1. два різних кореня, коли
2. один корінь, коли
3. не має коренів, коли
19. Висновок
Ми розглянули рішення лінійних і квадратичних нерівностей, деякі властивості квадратичної функції, які використовуються при вирішенні квадратних нерівностей.
Список рекомендованої літератури
Рекомендовані посилання на інтернет-ресурси
1. Портал Природних Наук.
2. Центр освіти «Технологія навчання».
3. Електронний навчально-методичний комплекс для підготовки 10-11 класів до вступних іспитів з інформатики, математики, української мови.
4. Віртуальний репетитор.
5. Розділ College. ru з математики.
Рекомендоване домашнє завдання
Завантаження.
Потрібно завантажити поурочні плани по темі »Рішення лінійних і квадратних нерівностей. Тисни посилання
Завантаження.
Популярні твори
- Пейзажі в ліриці А. С. Пушкіна
- Аналіз вірша А. Блоку «На полі Куликовому»
- Батько і син в оповіданні Д. Олдріджа "Останній Дюйм"
- Життя і творчість Гете В. І
- Рішення арбітражного суду. завдання
- Проектування підприємства громадського харчування Проектування закусочної. Частина 2
- А. С. Пушкін і С. А.Есенін про російську природу