Якщо написати число 101 і не вказати його систему числення, то виникає невизначеність, так як в десятковій системі це: Одна сотня, нуль десятків, одна одиниця, а всього - сто один, в двійковій системі: Одна четвірка, нуль двійок, одна одиниця, а всього - п'ять, а в шістнадцятковій. Одне число двісті п'ятдесят і шість нуль чисел шістнадцять і одна одиниця, а всього - двісті п'ятдесят сім.
Тому, застосовуючи числа в пристроях, що використовують різні системи числення (наприклад, в мікропроцесорах), слід обов'язково позначати систему числення для кожного числа.
Розглянемо деякі способи таких позначень. У науковій і технічній літературі німецькою мовою для позначення чисел, написаних в двійковій системі, замість символу 1 іноді вживають латинську букву L, записуючи НЕ 101, a L0L. Тоді 101 означає сто один в десятковій системі, a L0L - четвірка плюс одиниця в двійковій системі.
У вітчизняній літературі для позначення системи числення найчастіше пишуть внизу праворуч від числа дрібним шрифтом, цифровий показник (індекс), укладаючи його іноді в дужки. Наприклад: запис 10110 або 101 (10) означає: сто один в десятковій системі числення; запис 1012 або 101 (2) говорить про те, що число написано в двійковій системі числення. Читається воно так: Один, нуль, один в двійковій системі, що означає: одна четвірка, нуль і одна одиниця, або п'ятірка в десятковій системі (1012 = 5ю).
Дуже часто у вітчизняній і зарубіжній літературі по мікропроцесорній техніці системи числення позначають за допомогою заголовних латинських букв, наступних за цифрами. Для позначення двійковій системи використовується буква В. для вісімковій 0 або Q, для десяткової D і для шестнадцатеричной Я. Іноді буква D в десятковій системі опускається.
Таким чином, число п'ять може бути записано в десятковій системі як 510, 5 (10) або 5D, а також просто як 5; в двійковій системі - як 1012, 101 (2) або 101В; в шістнадцятковій - як 5,6, 5 (16) або 5Н; 510 = 5 (10) = 5D = 5 = 1012 = 101В = 516 = = 5 (16) == 5Н.
Арифметика двійкових чисел
Арифметичні дії над двійковими числами виробляють за тими ж правилами, що і над десятковими, але так як двійкова система має всього два символи (1 і 0), то обчислення виходять значно простіше.
Ось так виглядає таблиця додавання двійкових чисел:
Таблиця віднімання для двійкових чисел пишеться так:
У четвертому рядку наведена запис для вирахування з позикою. Так як від нуля відняти одиницю не можна, то доводиться займати одиницю в старшому розряді. Але ця одиниця для даного розряду означає два. Віднімаючи з цієї двійки одиницю, отримуємо один,
Таблиця множення двійкових чисел виглядає так:
Вона повністю відповідає таблиці множення для десяткових чисел.
На закінчення наводимо таблицю розподілу двійкових чисел:
Тут, в двох останніх рядках має місце невизначеність, відома з шкільної арифметики.
З чотирьох арифметичних дій найбільшу увагу слід приділити складанню, тому що в процесорі все арифметичні дії виконуються за допомогою додавання.
Пояснимо, як саме.
1. Віднімання. Дія віднімання можна замінити складанням, якщо до зменшуваного додати число, яке є доповнюються до вичитав, тобто доповнює його до наступного старшого розряду. Склавши зменшуване і доповнене, значення старшого розряду відкидають і отримують результат віднімання. Пояснимо сказане на прикладі віднімання десяткових чисел. Нехай потрібно виконати дію: 68 - 35.
Знаходимо доповнюється до віднімається 35 (число, яке доповнює 35 до вищого розряду - сотень). Це буде число 65, так як 100 - 35 = 65. Складаємо зменшуване 68 і доповнюється 65, отримуємо 68 + 65 = 133. Відкинувши старший розряд (сотню), маємо 33. Дія завершилося правильним. відповіддю.
При десятковому рахунку до такого прийому віднімання зазвичай не вдаються, тому що обчислення доповнюється не менше складно, ніж виконання самого вирахування. А ось для двійкових чисел цей прийом можна застосувати. Тут доповнюється число знаходиться дуже просто.
Воно визначається так. Замінюють в довічним числі всі одиниці на нулі - на одиниці, отримуючи так званий зворотний код двійкового числа. Додаючи до цього зворотного коду одиницю в нульовому розряді, отримуємо потрібну нам доповнюється число, якого з зменшуваним призводить до різниці двох чисел.
Для з'ясування цих прийомів виконаємо віднімання двійкових чисел шляхом складання. Скористаємося тими ж числами 6810 та 3510 але записаними в двійковій формі:
зменшуване 10001002 = 6810 від'ємник 01000112 - 3510
Знаходимо зворотний код від'ємника:
1011100 (зворотний код від'ємника)
Додаємо одиницю і отримуємо доповнене (його часто називають доповнювальних кодом):
Складаємо зменшуване і додатковий код
Відкидаємо одиницю старшого розряду:
Отримуємо результат віднімання:
Процес обчислення вийшов досить довгим, хоча і простим. Такі операції мікропроцесор виконує дуже швидко.
Його електронна схема влаштована так, що зручніше віднімання замінювати складанням. Множення. При множенні двійкових чисел доводиться множити на одиницю або на нуль, так як інших цифр в двійковій системі немає. При множенні на одиницю множимое точно відтворюється, а при множенні на нуль - виходять одні нулі, які можна і не писати, а просто зрушити наступне доданок на один розряд вліво.
Як бачимо, множення тут замінюється складанням двійкових чисел множимо, зсунутих вліво на потрібну кількість розрядів.
У мікропроцесорі є спеціальний пристрій (зсувний регістр), яке зрушує двійковечисло на необхідну кількість розрядів при виконанні множення.
3. Розподіл. Розподіл багаторозрядних двійкових чисел є найбільш складною і довгою процедурою з усіх чотирьох арифметичних дій. Не розглядаючи його докладно, зауважимо, що розподіл зводиться до багаторазового віднімання і зрушення чисел, але так як віднімання можна замінити складанням У додатковому коді, то процес поділу складається з таких трьох операцій:
складання подільника в додатковому коді з діленим;
складання подільника із залишками, попередньо зрушуваними на кожному кроці ділення вліво на один розряд.