Дано нелінійне рівняння алгебри (НАУ) виду
Нелінійність рівняння означає, що аргумент функції входить в функцію в деякій мірі або під знаком функції (тригонометричної, логарифмічною і т.п.), і, отже, графіком цієї функції не є пряма лінія. Вирішити рівняння - це значить знайти таке що .Значеніе називають коренем рівняння. На графіку функції корені відповідає точка, в якій функція перетинає вісь абсцис. Нелінійне рівняння, в загальному випадку, може мати кілька коренів, як, наприклад, на рис. 1.1 корінням є точки. . .
Всі методи вирішення нелінійних алгебраїчних рівнянь виду (1.1) можна розділити на два класи. Це точні (аналітичні) і наближені (ітераційні) методи. У точних методах корінь рівняння знаходиться за допомогою деякої алгебраїчної формули. Прикладами служать рішення квадратних рівнянь, деяких видів тригонометричних, логарифмічних, показових рівнянь і т.д. способи вирішення яких відомі нам зі шкільного курсу.
На практиці часто зустрічаються функції такого складного виду, що процес знаходження точного рішення або надзвичайно утруднений, або зовсім неможливий. У цьому випадку доводиться вдаватися до наближених методів рішення. У наближених методах процес знаходження рішення (коренів рівняння), взагалі кажучи, нескінченний. У цьому випадку рішення шукається у вигляді нескінченної послідовності. такий, що. де - це індекс, який вказує на номер наближення або ітерації. За визначенням меж, для будь-якого як завгодно малого знайдеться таке N. що при n> N. . Члени послідовності називаються послідовними наближеннями до вирішення, або ітераціями. Наперед заданий число називають точністю методу. а N - це кількість ітерацій. яке необхідно виконати, щоб отримати рішення з точністю.
Існує різні методи знаходження наближеного рішення, тобто способи побудови послідовності ітерацій. проте всі вони мають загальні етапи, представлені на рис. 1.2 у вигляді блок-схеми.
Для виходу з ітераційного процесу використовують різні умови. Найбільш часто використовується наступний критерій зупинки ітераційного процесу:, тобто процес знаходження наступного наближення зупиняється, коли різниця між сусідніми ітераціями стає малою. Також для закінчення ітераційного процесу використовується умова ÷ f (xn) ÷ Перш, ніж використовувати наближений метод, рівняння необхідно досліджувати на наявність коренів і уточнити, де ці корені знаходяться, тобто знайти інтервали ізоляції коренів. Інтервалом ізоляціікорня називається відрізок, на якому корінь рівняння існує і єдиний Необхідна умова существованіякорня рівняння на відрізку [a, b]: Нехай неперервна і (тобто на кінцях інтервалу функція має різні знаки). Тоді всередині відрізка [a, b] існує хоча б один корінь рівняння (1.1). Достатня умова едінственностікорня на відрізку [a, b]: Корінь буде єдиним, якщо і похідна функції не змінює знак на відрізку [a, b], тобто є монотонною на відрізку від до. В цьому випадку відрізок [a, b] буде інтервалом ізоляції. Якщо рівняння має кілька коренів, то для кожного з них потрібно знайти свій інтервал ізоляції. Існують різні способи дослідження функції: аналітичний, табличний, графічний. Аналітичний спосіб полягає в дослідженні поведінки функції шляхом знаходження її екстремумів, дослідження її поведінки при і знаходження ділянок зростання та спадання функції. Графічний спосіб - це побудова графіка функції і визначення числа коренів за кількістю перетинів графіка з віссю. Табличний спосіб-це побудова таблиці, що складається з шпальти аргументу і стовпці значень функції. Про наявність коренів свідчать зміни знака функції. Щоб не сталася втрата коренів, крок зміни аргументу повинен бути досить дрібним, а інтервал зміни досить широким. ПРИКЛАД 1.1. Вирішити нелінійне рівняння алгебри. Досліджуємо рівняння на інтервали ізоляції коренів аналітичним способом. Для цього знайдемо похідну функції. Далі визначимо екстремуми функції, де, як відомо, похідна приймає нульове значення: Значення функції в екстремальних точках:. Так як . то при. і при . Крім того, . . Отже, на інтервалі функція зростає від до 11,392; на інтервалі - убуває до -9,392, і на інтервалі зростає до. Тобто рівняння має три корені. Знайдемо інтервали ізоляції для кожного з коренів. Розглянемо для першого кореня відрізок. На лівому кінці відрізка функція приймає значення. а на правому. Так як всередині цього відрізка похідна позитивна, то функція є монотонно зростаючою, тобто змінює знак тільки один раз. Отже, відрізок є інтервалом ізоляції першого кореня. Розглянемо для другого кореня відрізок. . . при. тобто цей відрізок є інтервалом ізоляції другого кореня. Розглянемо для третього кореня відрізок. . . при. тобто цей відрізок є інтервалом ізоляції третього кореня. В інтервалі від -5 до 6 з кроком 1 обчислимо значення функції. Результати представимо у вигляді таблиці:Схожі статті