Нехай функція у = f (x) визначена в деякому проміжку безлічі Х і неперервна в точці. Тоді. що означає: для будь-кого. існує. що для всіх виконується нерівність.
Припустимо тепер, що функція f (x) неперервна на всій множині Х. тобто неперервна в кожній точці. Нехай. тоді функція f (x) неперервна в цій точці, а за визначенням безперервності це означає, що для будь-кого. існує що для всіх виконується нерівність. Візьмемо іншу точку. в ній функція теж неперервна, тобто для того ж
Таким чином, для кожної точки окремо по заданому знайдеться своя # 948; i -окрестность. числа # 948; i залежать не тільки від. але і від точок xi.
Якби безліч Х було кінцевим, то ми змогли б вибрати таке, що воно підійшло б для всіх розглянутих точок. Але для нескінченної кількості Х так міркувати не можна (з нескінченної кількості # 948; i> не можна вибрати найменше число).
Якщо для функції f (x). безперервної в проміжку Х. по заданому знайдеться таке # 948 ;. яке підійде для всіх точок. то ця функція буде рівномірно безперервної в х.
Опр. Функція y = f (x) називається рівномірно безперервної в проміжку Х. якщо для будь-кого. існує. що для всіх виконується нерівність. де б в межах аналізованого проміжку Х не лежали точки х0 і х.
У цьому випадку число # 948; виявляється залежним тільки від і не залежним від вибору точки. Тобто # 948; годиться для всіх точок одночасно.
Якщо функція f (x) визначена і неперервна на відрізку [a, b], то вона і рівномірно неперервна на цьому відрізку.
Теорема доводиться методом від противного (див. [3]).
З теореми безпосередньо випливає такий наслідок
Слідство: Нехай функція f (x) визначена і неперервна на відрізку [a, b]. Тоді по заданому знайдеться таке. що якщо відрізок довільно розбити на частини з довжинами, меншими # 948 ;. то в кожному з них коливання функції f (x) буде менше.
Зауваження: Якщо функція f (x) при зміні х в будь-якому проміжку Х обмежена, то її коливанням в цьому проміжку називається різниця w = Mm між її точної верхньою і нижньою межами значень функції на Х. Якщо мова йде про неперервної функції на відрізку [a, b], то коливанням буде просто різниця між найбільшим і найменшим значеннями функції в цьому відрізку.
Дійсно, якщо по заданому> 0 в якості # 948; взяти число, про який йдеться у визначенні рівномірну неперервність, то в часткових відрізках з довжинами, меншими # 948 ;. різницю між будь-якими двома значеннями функції буде по модулю менше. Зокрема, це справедливо і щодо найбільшого і найменшого з цих значень, різниця яких і дає коливання функції в згаданому частковому відрізку.