Проведіть попередню перевірку. Є проста теорема, в якій мовиться, що якщо нескінченна сума функції f сходиться, то межа функції f дорівнює 0. Таким чином, якщо ми маємо функцію x ^ 2, то у неї немає меж, і її сума до нескінченності розходиться; з іншого боку, межа функції 1 / x дорівнює 0, так що її сума може сходитися. Якщо межа не дорівнює нулю, ми знаємо, що ряд розходиться. УВАГА: зворотне не вірно, тобто те, що межа дорівнює нулю, зовсім не означає, що ряд обов'язково сходиться. У цьому випадку необхідна подальша перевірка.
Геометричні ряди. Для цих рядів існує дуже просте правило, так що перш за все визначте, чи не є ваш ряд геометричним. Геометричний ряд - це послідовність чисел, кожен член якої можна представити у вигляді r ^ k, де k - змінна, а r - число, яке лежить в інтервалі між -1 і 1. Геометричні ряди завжди сходяться. Більш того, ви легко можете визначити суму такого ряду, яка дорівнює 1 / (1-r).
Узагальнені гармонійні ряди, або ряди Діріхле. Таким поруч називається сума функцій виду 1 / (x ^ p), де x - будь-яке число. Теорема для цих рядів свідчить, що якщо p більше одиниці, ряд сходиться, якщо ж p менше або дорівнює одиниці, ряд розходиться. Це означає, що згаданий вище ряд 1 / x розходиться, так як його можна представити у вигляді 1 / (x ^ 1), де p = 1. Цей ряд називається гармонійним. Ряд 1 / (X ^ 2) сходиться, оскільки 2 більше 1.
Інші ряди. Якщо ряд не належить одному з типів, зазначених вище, застосуєте до нього методи, наведені нижче. Якщо не допоміг один метод, застосуєте наступний, оскільки не завжди ясно, який з них слід вибрати. Хоча і не існує однозначних правил, з часом ви зможете краще орієнтуватися у виборі потрібного методу.- Метод порівняння. Припустимо, у вас є два ряди, що складаються з позитивних членів, a (n) і b (n). Тоді: 1) якщо нескінченна сума b (n) сходиться, і a (n) менше ніж b (n) (для будь-якого досить великого n), тоді сума a (n) також сходиться; 2) якщо b (n) розходиться, і a (n)> b (n), тоді a (n) теж розходиться. Наприклад, у вас є ряд 2 / x; ми можемо порівняти його з рядом 1 / x. Оскільки ми вже знаємо, що ряд 1 / x розходиться, і 2 / x> 1 / x, звідси випливає, що ряд 2 / x також розходиться. Таким чином, ідея методу полягає в тому, щоб визначити, сходиться чи ні досліджуваний ряд, використовуючи вже відомий ряд.
