Положення будь-якої точки на еліпсоїді може бути однозначно задано двома координатами, що представляють собою відстані або кути щодо деяких площин, ліній або точок, прийнятих за початок відліку.
У судноводінні використовується географічна (геодезична) система координат, в якій координатними лініями є меридіани і паралелі, а координатами - широта і довгота.
Перетин земного еліпсоїда площиною, що проходить через його вісь, називається меридіанними еліпсом. а частина еліпса, укладена між полюсами (точками перетину осі з поверхнею еліпсоїда) називається меридіаном.
Перетин земного еліпсоїда площиною, перпендикулярної його осі, є окружність, яка називається паралеллю. Паралель з найбільшим радіусом (яка знаходиться в площині, що проходить через середину осі земного сфероїда), називається екватором.
Меридіани і паралелі утворюють географічну координатну сітку.
Беручи один з меридіанів за початковий, можна задати положення будь-якого іншого меридіана двогранним кутом площиною початкового меридіана і площиною даного меридіана. Цей кут називається довготою # 955 ;. За початковий з 1884р. прийнятий Грінвіч меридіан. Від нього довготи відлічуються на схід (з боку Північного полюса - проти годинникової стрілки) і захід в межах 180 0 із зазначенням найменування або знака. Східні довготи зазвичай вважаються позитивними, а західні - негативними. У всіх точках одного меридіана довгота однакова (# 955; = const).
широта # 966; визначається як кут між нормаллю до поверхні земного еліпсоїда в даній точці і площиною екватора. Широта вимірюється в межах від 0 до 90 0 на північ і південь від екватора і записується із зазначенням найменування або знака. Північні широти вважаються позитивними, а південні - негативними. Постійному значенню широти (# 966; = const) відповідають точка, що лежать на одній паралелі.
Одним з важливих переваг описаної системи координат є те, що вона дозволяє вирішувати задачу астрономічного визначення місця судна на земному еліпсоїді за формулами сферичної тригонометрії (без введення будь-яких поправок для обліку сфероїдічності Землі).
Важливими геометричними характеристиками поверхні земного сфероїда є головні радіуси кривизни, величини яких враховуються при виведенні ряду формул і вирішенні деяких завдань навігації. Головними називаються екстремальні значення радіусів кривизни поверхні в даній точці. Для еліпсоїда обертання головними є радіус кривизни меридіанного перетину # 924; і радіус кривизни нормального перетину # 925 ;.
Розглянемо елементарний відрізок ds дуги меридіанного еліпса (рис.5).
Довжина дуги дорівнює добутку радіуса її кривизни М на відповідний центральний кут d # 966 ;:
Проекція dx відрізка дуги ds на площину паралелі дорівнює
ds = -dx / sin # 966 ;. (2.2)
Знак мінус показує, що зі збільшенням широти відстань х від осі земного еліпсоїда до точки на його поверхні зменшується.
Порівнюючи співвідношення (10) і (11), отримуємо
Похідну dx / d # 966; можна розглядати як швидкість зміни радіуса паралелі r = x при зміні широти # 966 ;. Для визначення цієї похідної знайдемо залежність радіуса паралелі від елементів земного еліпсоїда. е і широти # 966 ;.
Рівняння еліпсоїда в канонічному в канонічному вигляді
Це рівняння буде описувати меридіанний еліпс, якщо вісь У збігається з віссю зеного сфероида. Продифференцируем дане рівняння і знайдемо похідну dy / dx:
Відомо, що похідна функції однієї змінної чисельно дорівнює тангенсу кута між дотичною до кривої, що виражає цю функцію, і вісь абсцис.
У нашому випадку відомий кут між нормаллю до меридіана еліпсу і віссю абсцис, рівний широті # 966; (Рис.6). Дотична до еліпсу перпендикулярна нормалі, тому
Оскільки ліві частини виразів (2.6) і (2.7) збігаються, рівні й праві їх частини:
Підставами отримане співвідношення в рівняння (2.5):
Знайдемо звідси явну залежність х від # 966 ;:
Цю залежність частіше використовують в перетвореному вигляді. Розглянемо подкоренное вираз
Після підстановки останнього виразу в формулу (2.9) отримуємо
Для визначення радіуса кривизни меридіанного перетину необхідно знайти dx / d # 966 ;.
З урахуванням цього виразу
Підставляючи значення похідної dx / d # 966; в формулу (2.5),
Величина W, будучи функцією широти # 966 ;, монотонно зменшується від 1 на екваторі до на полюсі. Тому на екваторі М має мінімальне значення, рівне а (1-е 2), а на полюсі М досягає максимуму, рівного.
Для визначення радіуса кривизни нормального перетину N скористаємося теоремою Меньє, згідно з якою радіус паралелі r = х = Ncos # 966 ;, звідки
З огляду на отримане раніше співвідношення (2.10, знаходимо
Підстановка в цю формулу значень W показує, що на екваторі N = (це мінімальне значення N), а на полюсі. тобто N збігається за величиною з М. У всіх точках земної сфероїд, крім полюса, N> M.
Знаючи М, можна обчислити довжину однієї хвилини дуги меридіана, яка використовується в якості одиниці вимірювання відстаней і називається морської милею. позначивши через # 916; s відрізок меридіана, що дорівнює одній милі, має
# 916; s = М # 916; # 966 ;, (2.13)
де # 916; # 966; = arc1 '= 1/3438.
Величина М залежить від # 966; і від параметрів земного еліпсоїда і е. Переймаючись параметрами еліпсоїда Красовського і виконуючи розрахунки за формулами (18) і (20), бачимо як змінюється довжина однієї милі # 916; s в залежності від широти # 966 ;:
оскільки величина # 916; s є змінною, при вирішенні багатьох завдань використовується стандартна морська миля. рівна 1852 м.
У багатьох задачах навігації потрібно розрахувати довжину дуги паралелі # 916; W, відповідну певної різниці довгот # 916; # 955 ;. величина # 916; W, називається відходу. обчислюється як добуток радіуса паралелі r на різницю довгот # 916; # 955 ;. Беручи r = ч, на підставі формули (2.10) отримуємо:
Підставляючи в цю формулу # 916; # 955; в кутових хвилинах, отримаємо # 916; W в тих же одиницях, що і. Величина arc1 '/ змінюється від 1855м / хв. на екваторі до 1862 м / хв. на полюсі (для еліпсоїда Красовського) і в наближених розрахунках приймається рівною 1 миля / хв. Тому часто використовується наступне співвідношення між різницею довгот і ставленням:
# 916; W = # 916; # 955; cos # 966 ;, (2.15)
де # 916; # 955; - в кутових хвилинах;