«Послухайте, що смертним зробив я ... Число їм подарував
І букви навчив з'єднувати ... Есхіл, «Закутий Прометей»
Есхіл, «Закутий Прометей» «Якби ні число і його природа, ніщо існуюче не можна було б осягнути їм саме по собі, ні в його відносинах до інших речей. Міць чисел проявляється у всіх діяннях і помислах людей, в усіх ремес- лах і в музиці »Піфагорієць Филолай, 5 ст. до н. е.
Число є одним з основних понять математики. Поняття числа розвивалося в тісному зв'язку з вивченням величин; цей зв'язок зберігається і тепер. У всіх розділах сучасної математики доводиться розглядати різні величини і користуватися числами
Існує велика кількість визначень поняття «число».
Перше наукове визначення числа дав Евклід у своїх «Засадах», яке він, очевидно, успадкував від свого співвітчизника Евдокса Кнідського (близько 408 - близько 355 рр. До н. Е.): «Одиниця є те, відповідно до чого кожна з існуючих речей називається однієї. Число є безліч, складене з одиниць ». Так визначав поняття числа і російський математик Магніцький в своїй «Арифметиці» (1703 г.).
Ще раніше Евкліда Аристотель дав таке визначення: «Число є безліч, яке вимірюється за допомогою одиниць».
За словами грецького філософа Ямвлиха, ще Фалес - родоначальник грецької стихійно-матеріалістичної філософії - учив, що «число є система одиниць». Це визначення було відомо і Піфагору.
У своїй «Загальній арифметиці» (1707 р) великий англійський фізик, механік, астроном і математик Ісаак Ньютон пише: «Під числом ми подра- зумеваем не так багато одиниць, скільки абстрактне відношення якої-небудь величини до іншої величини такого ж роду, взятої за одиницю. Число буває трьох видів: ціле, дробове і ірраціональне. Ціле число є те, що вимірюється одиницею; дробове - кратною частиною одиниці, ірраціональне - число, що не порівнянне з одиницею ».
Наш маріупольський математик С.Ф.Клюйков також вніс свій внесок у визначення поняття числа: «Числа - це математичні моделі реального світу, придумані людиною для його пізнання». Він же вніс в традиційну класифікацію чисел так звані «функціональні числа», маючи на увазі те, що в усьому світі зазвичай називають функціями. Більш докладно про це викладено в розділі 9.
1. Натуральні числа
Поняттям «натуральне число» в сучасному його розумінні послідовно користувався видатний французький математик, філософ-просвітитель Даламбер (1717-1783 рр.).
Початкові уявлення про число з'явилися в епоху кам'яного віку, при переході від простого збирання їжі до її активного виробництва, приблизно 100 століть до н. е. Числові терміни важко зароджувалися і повільно входили у вжиток. Стародавній людині було далеко до абстрактного мислення, вистачило того, що він придумав числа: «один» і «два». Решта кількості для нього залишалися невизначеними й поєднувалися в понятті «багато».
Зростало виробництво їжі, додавалися об'єкти, які потрібно враховувати в повсякденному житті, в зв'язку з чим придумувалися нові числа: «три», «чотири» ... Довгий час межею пізнання було число «сім».
Про незрозумілому говорили, що ця книжка «за сімома печатками», знахарки в казках давали хворому «сім вузликів з лікарськими травами, які треба було наполягти на семи водах протягом семи днів і приймати щодня по сім ложок».
Пізнаваний світ ускладнювався, були потрібні нові числа. Так дійшли до нової межі. Їм стало число 40. Позамежні кількості моделювалися величезним на ті часи числом «сорок сороків», дорівнює 1600.
Пізніше, коли число «сорок» вже перестало бути граничним, воно стало відігравати велику роль в російській метрології як основа системи заходів: пуд мав 40 фунтів, бочка-сороковка - сорок відер і т.д.
Великий інтерес викликає історія числа «шістдесят», яке часто фігурує у вавилонських, перських і грецьких легендах як синонім великого числа. Вавилоняни вважали його Божим числом: шістдесят ліктів у висоту мав золотий ідол з храму вавилонського царя Навуходоносора. Пізніше з тим же самим значенням (сила-силенна) виникли числа, кратні 60: 300, 360. З часом число 60 у Вавилоні лягло в основу Шістдесяткова системи обчислення, сліди якої збереглися до наших днів при вимірі часу і кутів.
Наступним межею у слов'янського народу було число «тьма», (у древніх греків - міріад), що дорівнює 10 000, а межею - «тьма тьмуща», рівне 100 мільйонам. У слов'ян застосовували також і іншу систему числення (так зване «велике число» або «великий рахунок»). У цій системі «тьма» дорівнювала 106, «легіон» - 1012, «леодр» - 1024, «ворон» - 1048, «колода» - 1096, після чого додавали, що більшого числа не існує.
В античному світі далі всіх просунулися Архімед (III в. До н.е.) в «обчисленні піщинок» - до числа 10, зведеного в ступінь 8х1016. і Зенон Елейський (IV ст. до н. е.) в своїх парадокси - до нескінченності ∞.
1.1. Функції натуральних чисел
Натуральні числа мають дві основні функції:
характеристика кількості предметів;
характеристика порядку предметів, розміщених в ряд.
Відповідно до цих функцій виникли поняття порядкового числа (перший, другий і т.д.) і кількісного числа (один, два і т.д.).
Довго і важко людство добирався до 1-го рівня узагальнення чисел. Сто століть знадобилося, щоб вибудувати ряд найкоротших натуральних чисел від одиниці до нескінченності: 1, 2, ... ∞. Натуральних тому, що ними позначалися (моделювалися) реальні неподільні об'єкти: люди, тварини, речі ...
2. Раціональні числа
2.1. Дробові числа
2.1.1. Про походження дробів
З виникненням уявлень про цілих числах виникали уявлення і про частини одиниці, точніше, про частини цілого конкретного предмета. З появою натурального числа n виникло уявлення про дроби виду 1 / n, яка називається зараз аликвотной, родової або основний.
Щоб з'ясувати питання про походження дробу, треба зупинитися не на рахунку, а на іншому процесі, який виник зі стародавніх часів, - на вимірі. Історично дробу виникли в процесі вимірювання.
В основі будь-якого вимірювання завжди лежить якась величина (довжина, обсяг, вага і т.д.). Потреба в більш точних вимірах привела до того, що початкові одиниці міри почали дробити на 2, 3 і більше частин. Більш дрібної одиниці заходи, яку отримували як наслідок роздроблення, давали індивідуальне назву, і величини вимірювали вже цієї меншої одиницею.
Так виникали перші конкретні дроби як певні частини якихось певних заходів. Тільки набагато пізніше назвами цих конкретних дробів почали позначати такі ж самі частини інших величин, а потім і абстрактні дроби.
Читати далі: Дроби в Стародавньому Римі
Інформація про роботу «Число як основне поняття математики»