1. Знайдемо оптимальні стратегії гравців в грі, заданої платіжною матрицею
Спочатку перевіримо, чи є в даній грі сідлова точка.
Нижня ціна гри дорівнює max = 4.
Верхня ціна цієї гри дорівнює min = 7.
Оскільки. то сідлової точки у даній гри немає, і рішення потрібно шукати в змішаних стратегіях.
Графічно вирішуються ті матричні ігри, в яких хоча б у одного з гравців є лише дві чисті стратегії. Завдання саме цього гравця і вирішується графічно. У задачі 1 у першого гравця дві чистих стратегії, а у другого - чотири, тому будемо вирішувати графічно задачу першого гравця.
Змішана стратегія першого гравця задається вектором. Побудови здійснюються в такий спосіб. На горизонтальній прямій відкладається відрізок одиничної довжини, що характеризує ймовірність застосування чистих стратегій першим гравцем. Кожній точці цього відрізка зіставляється змішана стратегія першого гравця за таким правилом: відстань від точки до правого кінця відрізка задає величину. а відстань до лівого його кінця - величину (див. рисунок 1.1). Для певних таким чином величин і виконуються співвідношення. . тому, згідно з (5), вектор задає змішані стратегії першого гравця.
Тоді точка 0 задає вектор (1, 0), т. Е. Першу чисту стратегію першого гравця, а точка 1 задає вектор (0, 1), т. Е. Другу чисту стратегію першого гравця. Далі через кінці одиничного відрізка проводяться вертикальні лінії. На цих лініях відкладаються виграші першого гравця при застосуванні другим гравцем його різних чистих стратегій. При цьому виграші в разі застосування першим гравцем його першої чистої стратегії розташовуються на лівій вертикальній лінії, а відповідні другий чистої стратегії першого гравця - на правій вертикалі. Точки лівої і правої вертикалі, відповідні одній і тій же чистої стратегії другого гравця, з'єднуються відрізками.
На малюнку 1.2 зображені виграші першого гравця при застосуванні другим гравцем першої чистої стратегії. Римськими цифрами вказано, що другий гравець застосовує саме першу чисту стратегію.
Будь-яка точка K цього відрізка з координатами і показує, що якщо перший гравець буде застосовувати свою змішану стратегію. а другий гравець - свою першу чисту стратегію, то середній виграш першого гравця буде дорівнює.
Аналогічні побудови виконуються для інших чистих стратегій другого гравця (рисунок 1.3). Римські цифри вказують на номер його чистої стратегії.
Жирним шрифтом виділено ламана, відповідна нижній межі виграшу першого гравця, тобто дає його середній гарантований виграш. У точці М знаходиться найбільший гарантований виграш першого гравця (так як М - найвища точка ламаної). Ця точка є перетином відрізків, відповідних першій і другій чистим стратегіям другого гравця. Ці стратегії називаються активними. Другий гравець буде використовувати їх в своїй оптимальній змішаній стратегії з ненульовий ймовірністю. Відрізки, відповідні третьої і четвертої чистим стратегіям другого гравця, не проходять через точку М, тому ці стратегії в оптимальну змішану стратегію другого гравця увійдуть з нульовими можливостями, так як їх реалізація призведе до більшого програшу другого гравця. Такі стратегії називають пасивними.
При визначенні оптимальної змішаної стратегії першого гравця і ціни гри використовується наступне твердження:
Твердження 1. Якщо один з гравців застосовує свою оптимальну змішану стратегію, то його виграш буде дорівнює ціні гри, незалежно від того, з якими ймовірностями застосовує інший гравець свої активні стратегії.
Випишемо співвідношення для знаходження оптимальної змішаної стратегії першого гравця, грунтуючись на затвердження 1. У нашому прикладі платіжна функція, згідно (7), має вигляд:
Нехай оптимальна змішана стратегія першого гравця дорівнює. За твердженням 1 він отримає виграш, рівний ціні гри. з якими б можливостями не застосовував другий гравець свої активні стратегії. Ми розглянемо випадки, коли другий гравець застосовує свої активні чисті стратегії, тобто або першу, або другу.
Отже, нехай. . Тоді.
Нехай. . Тоді. Прирівняємо ці значення до ціни гри і додамо рівняння. отримаємо систему рівнянь:
Вирішивши цю систему, отримуємо
Тепер знайдемо оптимальну змішану стратегію другого гравця. Нехай вона задається вектором. Тут ми врахували той факт, що третя і четверта чисті стратегії другого гравця є пасивними. Випишемо величину програшу другого гравця, якщо він застосовує свою оптимальну змішану стратегію, а перший гравець - свої чисті стратегії.
Застосовуємо твердження 1, враховуючи, що ціна гри знайдена і дорівнює отримаємо систему рівнянь:
Вирішивши цю систему, отримуємо. Отже, оптимальна змішана стратегія другого гравця задається вектором.
Відповідь до даної задачі запишемо у вигляді: