Всі реальні гармонійні коливання відбуваються при впливі сил опору, на подолання яких тіло витрачає частину своєї енергії, в результаті амплітуда коливання зменшується з часом, тобто коливання носять затухаючий характер.
Уявімо графік затухаючого коливання:
Висновок диференціального рівняння затухаючого коливання. На тіло, крім сили сили пружності діє сила опору:
де r - коефіцієнт опору.
Згідно з другим законом Ньютона можна записати:
Розділимо на масу m, отримаємо:
де # 946; - коефіцієнт загасання.
Отримали диференціальне рівняння затухаючого коливання:
Рішення рівняння істотно залежить від знака різниці,
де # 969; - кругова частота згасаючих коливань, # 969; 0 - кругова частота власних коливань системи (без загасання).
при # 969;> 0 рішення диференціального рівняння буде таким:
Амплітуда затухаючого коливання в будь-який момент часу t визначається рівністю:
де А0 - початкова амплітуда, зазначена на графіку (див. рис 3).
Період Т згасаючих коливань визначається за формулою:
Швидкість загасання (швидкість зменшення амплітуди) визначається величиною коефіцієнта загасання # 946; . чим більше # 946; . тим швидше зменшується амплітуда.
Для характеристики швидкості загасання ввели поняття декремента загасання.
Декрементом загасання називається відношення двох сусідніх амплітуд, розділених періодом:
На практиці ступінь загасання характеризується логарифмічним декрементом загасання # 955; . рівним:
Виведемо формулу, яка б пов'язала логарифмічний декремент загасання # 955; з коефіцієнтом загасання # 946; і періодом коливання Т.
Виведемо розмірність коефіцієнта загасання
Вимушені коливання. Вимушеними коливаннями називаються коливання, що виникають в системі при впливі на неї зовнішньої сили, що змінюється по періодичному закону.
Нехай на систему діє сила:
# 969; - кругова частота коливань зовнішньої сили.
На систему діють сила сила опору і сила пружності.
З урахуванням всіх чотирьох сил на підставі другого закону Ньютона запишемо:
Розділимо обидві частини рівності на m. отримаємо:
Отримали диференціальне рівняння вимушеного коливання: