Визначник матриці (детермінант матриці) - це квадратна таблиця чисел або математичних символів (δd).
Визначення. Визначником матриці n × n є число:
де (α1. α2. αn) - перестановка чисел від 1 до n. N (α1, α2. Αn) - число інверсій в перестановці, підсумовування відбувається по всіх можливих перестановок порядку n.
Визначник матриці A в основному позначають як de t (A), | A |. або? (A).
Властивості визначника матриці.
Властивості визначника матриці - параметри, за допомогою яких знаходиться вирішення всіх видів алгебраїчних матриць.
- Визначник одиничної матриці дорівнює відповідно одиниці: det (E) = 1.
- Визначник матриці, де два рядки (стовпці) рівні між собою, буде дорівнює нулю.
- Визначник матриці, де два рядки (стовпці) пропорційні один одному також буде дорівнює нулю.
- Визначник матриці, який містить рядок (стовпець) з одними нулями, дорівнює нулю.
- Визначник матриці з двома або більше рядками (стовпцями) лінійно залежними між собою теж дорівнює лише нулю.
- Якщо провести транспонування, значення визначника матриці від цього не зміниться: det (A) = det (A T)
- Визначник оберненої матриці. det (A -1) = det (A) -1
- Визначник матриці буде незмінний навіть якщо до будь-якої його рядку (стовпцю) дописати інший рядок (стовпець), перед цим помножену на будь-яке число.
- Визначник матриці не буде змінений, якщо до будь-якому рядку (стовпцю) дописати лінійну комбінацію інших рядків (стовпців).
- При зміні місцями двох рядків (стовпців) матриці визначник матриці отримує протилежний знак.
- Загальний множник в рядку (стовпці) легко виноситься за знак визначника:
- Помноживши квадратну матрицю n-того порядку на будь-яке число не рівне нулю, то визначник підсумкової матриці буде дорівнює добутку визначника наперед заданій матриці на це число в ступені n. B = k · A => det (B) = k n · det (A), де A матриця n × n. k - число.
- За умови, що кожен елемент будь-якого рядка визначника дорівнює сумі 2х доданків, вихідний визначник дорівнює сумі 2х визначників, де замість цього рядка підставлені перші і другі доданки відповідно, а інші рядки збігаються з початковим визначником:
- Визначник верхньої (нижньої) трикутної матриці відповідає добутку його діагональних елементів.
- Визначник добутку матриць буде відповідати твору визначників цих матриць: det (A · B) = det (A) · det (B).
Знайти визначник матриці.
Щоб знайти визначник матриці необхідно знати основні властивості матриць і послідовність дій при вирішенні матриці.
- Для матриць порядку n = 2 визначник знаходять за допомогою формули: δ = a11 * a22 -a12 * a21
- Для матриць порядку n = 3 визначник знаходять через алгебраїчні доповнення або за допомогою методу Саррюс.
- Матриця з розмірністю> 3 розкладається на алгебраїчні доповнення, для яких знаходяться свої визначники (мінори). Наприклад, визначник матриці 4 порядку обчислюється через розкладання по рядках або стовпцях.
Для знаходження визначника матриці. який містить в матриці функції, використовуються стандартні методи. Наприклад, знайти визначник матриці третього порядку:
Скористаємося розкладанням по першому рядку:
δ = sin (x) × [cos (x) × 2 - 0 × tg (x)] + 1 × [1 × 0-2 × cos (x)] = 2sin (x) cos (x) - 2cos (x ) = sin (2x) - 2cos (x)
Обчислити визначник матриці.
Обчислити визначник матриці можна декількома методами, які будуть перераховані нижче.
Найпопулярнішим способом обчислення визначника матриці є метод підбору алгебраїчних доповнень. Є більш проста версія цього методу - обчислення визначника за допомогою правила Саррюс. Ці методи відмінні при обчисленні визначника простий невеликий матриці, а якщо потрібно порахувати матрицю великої розмірності, тоді можуть застосовуватися такі методи обчислення визначника матриці:
- обчислення визначника методом зниження порядку,
- обчислення визначника методом Гауса (через приведення матриці до трикутного вигляду),
- обчислення визначника методом декомпозиції.
В Excel для розрахунку визначника використовується функція = МОПРЕД (діапазон комірок).