Завдання, що призводять до подвійних інтегралів.
Завдання про обсяг циліндроїда. Розглянемо тіло з підставою, що лежить в площині, обмежене поверхнею і циліндричною поверхнею, що утворюють якої паралельні осі, а направляючої служить межа області. Це тіло називається циліндроїда (циліндричним брусом, або загальним циліндром). Потрібно обчислити об'єм циліндроїда.
Щоб вирішити задачу, область розіб'ємо довільним чином на частин, площі яких також позначимо через відповідно. У кожній з елементарних областей () виберемо довільну точку і значення функції в цій точці помножимо на площу області. Цей твір дорівнює обсягу циліндричного тіла з площею підстави і висотою. Складемо суму всіх таких творів:
Ця сума висловлює обсяг ступеневої циліндричного тіла, наближено заміняє даний циліндроїда,
Позначимо діаметр елементарної області через, тобто найбільша відстань між точками, що лежать на кордоні області, а найбільший з цих діаметрів - через. Очевидно, якщо, то .Об'емом загального циліндра є межа обсягу відповідного ступеневої тіла при:
Завдання про масу пластинки. Розглянемо область площині, обмежену замкнутою лінією, в якій розподілено речовина з щільністю. Таку область називають платівкою. Обчислимо масу пластинки, припустивши відомої функцію.
Область довільним чином розіб'ємо на області, площі яких позначимо тими ж символами. Припустимо, що в кожної елементарної області щільність постійна і дорівнює щільності в деякій точці цієї області, т. Е.. Тоді твір висловлює наближену масу елементарної пластинки, а сума всіх таких творів - наближену масу всієї пластинки, т. Е.
Точне значення маси всієї пластинки отримаємо, перейшовши до межі при, де - найбільший з діаметрів області:
Обидва завдання привели до необхідності розгляду двовимірної інтегральної суми
для функції по області та її межі при.
Визначення. Число називається межею інтегральної суми при, якщо для будь-якого числа можна вказати таке число, що при виконується нерівність
незалежно від вибору точок в елементарних областях.
Визначення. Подвійним інтегралом від функції по області називається межа її інтегральної суми при, якщо він існує і не залежить від способу розбиття області і вибору точок:
При цьому функція називається підінтегральної функцією, а область - областю інтегрування.
Подвійний інтеграл від функції по області позначається також наступним чином:
Відзначимо без доказу, що межа інтегральної суми існує, якщо функція неперервна в замкненій області, що має площу. Якщо межа інтегральної суми існує, то функція називається інтегрованою в області. Отже, все безперервні функції є інтегрованими, серед розривних функцій є інтегровані і неінтегріруемих.
З вирішення завдань, розглянутих вище, слід геометричний і фізичний зміст подвійного інтеграла:
1. Геометричний сенс: подвійний інтеграл від функції r по області дорівнює обсягу циліндроїда з підставою, який обмежений зверху поверхнею
2. Фізичний сенс подвійного інтеграла: якщо неотрицательная функція висловлює поверхневу щільність платівки, то її маса дорівнює подвійному інтегралу від даної функції по даній області