Визначення комплексного числа

Попередня ↔ Наступна

Комплексним чісломz називають символ x + yi, де х і у - дійсні числа. При цьому х називається дійсною частиною комплексного числа, у - уявною частиною, i - уявною одиницею.

Дійсна частина комплексного числа позначається ReZ (ReZ = x), а уявна частина позначається символом ImZ (ImZ = y). Отже, комплексне число можна записати.

Запис комплексного числа

називається алгебраїчної формою записи.

комплексне число

називається зв'язаним з комплексним числом

і позначається.

Комплексні числа

називаютсяравнимі, якщо відповідно рівні їх дійсні та уявні частини:

Якщо у = 0, то комплексне число має вигляд

. Будемо його скорочено запісиватьz = x і називати дійсним числом. Якщо x = 0 і y = 0, то комплексне число z = 0 + i0 скорочено записується у вигляді z = 0 і називається нулем.

Якщо х = 0, у ≠ 0, то комплексне число має вигляд z = 0 + yi або, коротше, z = yi. Його називають уявним числом. Зокрема, якщо х = 0, y = 1, отримуємо комплексне число

0 + 1i = i - уявну одиницю. Будь-яке число z = x + yi, де y ≠ 0, називають уявним числом.

Два комплексних числа x + yi і x-yi - називаються комплексно-сполученими. Якщо z = x + yi, то поєднане число x-yi - прийнято позначати

Операції над комплексними числами.

Сумою комплексних чисел називають комплексне число Його позначають

. Таким чином,

При додаванні комплексних чисел складаються їх дійсні та уявні частини.

комплексне число

називається різницею двох комплексних чисел, якщо

. Різниця комплексних чисел

позначається

З визначення випливає, що

При відніманні з дійсної та уявної частини зменшуваного відповідно віднімається дійсна і уявна частина від'ємника.

Множення двох комплексних чисел вводиться рівністю

Рівність (4) випливає, з

Якщо при множенні двох комплексних чисел

вийде деяке число

, то при множенні пов'язаних їм чисел

вийде число поєднане, т. е.

Розподіл вводиться як дію, зворотне множенню. Часткою від ділення числа називають число

, таке, що

, т. е.

Звідси, на підставі рівності (4), отримуємо:

Вирішуючи систему (7) щодо

знаходимо:

(де

, так як за умовою

Неважко помітити, що рівність (9) може бути отримано шляхом множення чисельника і знаменника дробу

на число, комплексно поєднане знаменника.

Зведення комплексного числа z у натуральну ступінь п розглядається як окремий випадок множення комплексних чисел:

Комплексні числа можна розглядати як розширення множини дійсних чисел. Справді, алгебраїчні операції над комплексними числами введені так, що сукупність всіх «дійсних» комплексних чисел (т. Е. Чисел виду

або, коротше,

z = x з зазначеними операціями над ними збігається із сукупністю дійсних чисел і відомими діями над цими числами.

Тригонометрична форма комплексного числа. Виберемо на площині XOY полярну систему координат (рис. 1) так, щоб полюс збігся з початком координат, а полярна вісь пішла б по позитивному напрямку дійсної осі. Позначимо полярний радіус точки

через ρ, а полярний кут через φ. Полярний радіус ρ називається модулем комплексного числа і позначається

. Полярний кут φ називається аргументом комплексного числа і позначається arg z, якщо береться головне значення кута, іArgz, якщо береться загальне значення кута. Таким чином,

де k - довільне ціле число, а φ - будь-яке із значень аргументу z. Так як, а

, то

(*)

Вираз (*) називається тригонометричної формою записи комплексного числа. Очевидно, що

Геометрична інтерпретація складання комплексних чисел. Нехай площині комплексної змінної даються два числа

(Рис. 2).

Провівши радіуси-вектори точок

отримаємо два вектора

, які відповідають комплексним числам

. При додаванні комплексних чисел складаються їх дійсні та уявні частини, а при додаванні векторів складаються відповідні координати. Це дозволяє складання комплексних чисел представляти у вигляді додавання векторів. вектор

, є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах

і представляє комплексне число:

Визначення комплексного числа

Схожі статті