Комбінаторика займається складанням з елементів даних множин різних комбінацій із заданими властивостями і підрахунком їх числа.
Тематика сучасної комбінаторики, як вказують математики Айгнер М.Р. Виленкин Н.Я. Антипов І.М. різноманітна: перечислительного і екстремальні задачі, проблеми існування, вибору і розташування, геометричні та алгебраїчні інтерпретації. Комбінаторні методи використовуються для вирішення транспортних завдань, зокрема завдань по складанню розкладів, для складання планів виробництва і реалізації продукції. Встановлено зв'язки між комбінаторикою і завданнями лінійного програмування, статистики і т.д. Комбінаторика використовується для складання і декодування шифрів і для вирішення інших проблем інформації.
Як вказує М. Айгнер «значну роль комбінаторні методи грають і в чисто математичних питаннях - теорії груп і їх уявлень, вивченні підстав геометрії, неоассоціатівних алгебр і т. Д.».
За останні роки комбинаторика розвинулася в самостійну гілку дискретної математики, можливості якої в додатку до обчислювальних машин та природничих наук тільки починають усвідомлювати.
З точки зору теорії множин комбінаторика вивчає підмножини множин, їх об'єднання та перетину, а також різні способи упорядкування цих підмножин.
У математичній літературі відзначаються три відмінні риси комбінаторних задач, які полягають в наступному:
1. Всі об'єкти, що описуються в задачах, складаються з окремих дискретних елементів;
2. Безліч цих елементів кінцеві.
3. Перевага віддано двом видам операцій: відбір підмножин та впорядкування елементів множини.
Комбінаторні задачі з точки зору теорії множин - це завдання на визначення числа можливих кінцевих множин або кортежів з певними властивостями, які можна скласти з даних елементів; або числа - відповідності, які можна встановити між елементами множин.
За характером одержуваних сполук комбінаторні завдання дуже різноманітні. Це пов'язано і з допустимим різноманітністю елементів множин, і з можливістю вводити певні обмеження на утворені об'єкти, з використанням різних способів упорядкування. Завдання можуть включати в себе питання існування комбінаторних конфігурацій, алгоритми їх побудови, оптімітізацію таких алгоритмів, а також питання визначення числа всіх можливих конфігурацій.
Способи вирішення комбінаторних завдань, зазвичай ділять на дві групи: «формальні» і «неформальні». При «формальному» шляхи вирішення потрібно визначити характер вибірки, вибрати відповідну формулу або комбінаторний принцип підставити числа і обчислити результат. Результат - це кількість можливих варіантів, самі ж варіанти в цьому випадку не утворюються. Основні комбінаторні правила: додавання, множення.
Прикладом вирішення комбінаторних завдань формальним способом можуть бути такі завдання:
Завдання. 1. Скільки словників треба мати, щоб можна було виконувати переклади безпосередньо з будь-якого з п'яти мов на будь-який з цих п'яти?
Рішення. Число словників збігається з числом упорядкованих підмножин, що містять два елементи з п'яти. Для такого перекладу треба мати 20 словників.
Завдання 2. На першій прямій взяті три точки, а на паралельній їй прямий чотири точки. Скільки існує трикутників, вершинами яких є ці точки?
Рішення. Трикутник однозначно визначається трьома точками-вершинами, що не належать одній прямій. Якщо взяти в якості вершини трикутника одну з трьох точок на першій прямій, то, щоб отримати трикутник, на другий прямий треба вибрати дві точки з чотирьох наявних. Якщо одну точку - вершину з чотирьох вибираємо на другий прямий, то дві точки з трьох треба вибрати на першій прямій. Застосовуючи правила множення і складання, знайдемо 30 трикутників.
Завдання 3. Скільки різних чотиризначних чисел є в п'ятиричної системі числення?
Рішення. Чотиризначний число не може починатися з нуля. Отже, перше місце в числі може зайняти одна з чотирьох цифр. Вибір кожної з решти трьох цифр числа можна здійснити п'ятьма способами. Використовуючи правило множення, одержимо 500 чисел.
«Неформальний» спосіб вирішення на перший план виводить сам процес складання різних комбінаторних конфігурацій. І головна його задача швидко і правильно знайти всі можливі варіанти.
До неформальним способам вирішення комбінаторних завдань відносять безпосередній перебір. Це самий елементарний спосіб, тому що він не вимагає знання визначень і формул. Тому саме його доцільно використовувати в початкових класах.
Спосіб перебору застосовується для вирішення завдань з найдавніших часів. У сучасному житті він використовується як в практичній діяльності, так і для вирішення серйозних проблем в математиці та інформатики в зв'язку з появою електронно-обчислювальних машин, які виробляють перебір з великим числом елементів в короткий час.
Крім терміна «перебір» в літературі можна зустріти і інші: «метод проб і помилок», «метод проб», «прийом цілеспрямованих проб», «спосіб підбору і здогади».
Більш вдалим за змістом назвою буде «спосіб перебору», тобто спосіб, при якому потрібно перебрати, переглянути всі можливі варіанти і показати, що інших бути не може. При цьому важливо, як організований процес перебору, так як, якщо діяти випадковим, хаотичним чином, то можна бути впевненим, що знайдені всі можливі комбінації. Щоб уникнути цього, потрібно виконувати перебір в певній системі.
Для цього використовують комбінаторні таблиці, графи, «дерево рішень».
Для здійснення повного перебору, щоб не упустити жодну комбінацію можна використовуватися комбінаторними таблицями: матрицею і числовий таблицею.
Матрицею називається прямокутна таблиця елементів. Горизонтальні ряди називаються рядками, вертикальні ряди - стовпцями. Елементами матриці можуть бути будь-які об'єкти: число, букви і т.д.
Числовий таблицею називається таблиця з числовими характеристиками множин (вони часто підказують найкращий практичний шлях вирішення, якого-небудь питання).
Комбінаторні таблиці зручно використовувати при складанні різних конфігурацій (і розміщень, і перестановок, і поєднань).
В математиці вважається, що граф висловлює відносини між множинами і елементами множин. «Граф» - від грецького «графо» - «пишу».
За визначенням Н.Я. Виленкина, граф - це «безліч, що складається з кінцевого числа точок, деякі пари яких з'єднані дугами (такі графи називаються неорієнтованими; якщо замість дуг використовуються стрілки, то вийде орієнтований граф, або, орграф)».
A.M. Пишкало, Стойлова Л.П. Різдвяний В.В. графом називають «особливий креслення, що складається з точок і ліній, що йдуть з однієї точки в іншу».
Інакше можна сказати, що граф - сукупність точок, стрілок, ліній, петель. Як вказує Виленкин Н.Я. «Точки, що зображують елементи множини, що розглядається в задачі, називають вершинами графа». «Стрілку на графі, у якій початок і кінець збігаються, називають петлею».
Аналіз особливостей комбінаторних задач і способів їх вирішення дозволяє зробити наступні висновки:
1. При складанні комбінаторних задач для учнів початкових класів використовувалися різні види з'єднань, які пов'язані розміщеннями, розстановками, поєднаннями.
2. Основним методом вирішення комбінаторних завдань у початковій школі може з'явитися неформальний, так як він враховує особливості мислення молодших школярів і не вимагає введення в програму додаткової інформації.
3. Можна припустити, що в якості способів вирішення комбінаторних завдань молодшим школярам цілком доступні спосіб перебору, складання таблиць і побудова графів.