Довільну просторову систему сил, як і плоску, можна привести до якогось центру О і замінити однією результуючої силою і парою з моментом. Міркуючи так, що для рівноваги цієї системи сил необхідно і достатньо, щоб одночасно було R = 0 і Mо = 0. Але вектори і можуть звернутися в нуль тільки тоді, коли дорівнюють нулю всі їх проекції на осі координат, т. Е. Коли Rx = Ry = Rz = 0 і Mx = My = Mz = 0 або, коли діючі сили задовольняють умовам:
Таким чином, для рівноваги просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій всіх сил системи на кожну з координатних осей, а також суми моментів всіх сил системи відносно кожної з цих осей дорівнювали нулю.
В окремих випадках системи сходяться або паралельних сил ці рівняння будуть лінійно залежні, і тільки три рівняння з шести будуть лінійно незалежними.
Наприклад, рівняння рівноваги системи сил, паралельних осі Oz. мають вигляд:
Завдання на рівновагу тіла під дією просторової системи сил.
Принцип вирішення завдань цього розділу залишається тим же, що і для плоскої системи сил. Встановивши, рівновагу, якого тіла буде розглядатися, замінюють накладені на тіло зв'язку їх реакціями і складають умови рівноваги цього тіла, розглядаючи його як вільний. З отриманих рівнянь визначаються шукані величини.
Для отримання більш простих систем рівнянь рекомендується осі проводити так, щоб вони перетинали більше невідомих сил або були до них перпендикулярні (якщо це тільки зайве не ускладнює обчислення проекцій і моментів інших сил).
Новим елементом у складанні рівнянь є обчислення моментів сил щодо осей координат.
У випадках, коли із загального креслення важко угледіти, чому дорівнює момент цієї сили відносно будь-якої осі, рекомендується зобразити на допоміжному кресленні проекцію розглянутого тіла (разом з силою) на площину, перпендикулярну до цієї осі.
У тих випадках, коли при обчисленні моменту виникають труднощі у визначенні проекції сили на відповідну площину або плеча цієї проекції, рекомендується розкласти силу на дві взаємно перпендикулярні складові (з яких одна паралельна який-небудь координатної осі), а потім скористатися теоремою Варіньона.
Приклад 5. Рама АВ (рис.45) утримується в рівновазі шарніром А і стрижнем ВС. На краю рами знаходиться вантаж вагою Р. Визначимо реакції шарніра і зусилля в стрижні.
Розглядаємо рівновагу рами разом з вантажем.
Будуємо розрахункову схему, зобразивши раму вільним тілом і показавши всі сили, що діють на неї: реакції зв'язків і вага вантажу Р. Ці сили утворюють систему сил, довільно розташованих на площині.
Бажано скласти такі рівняння, щоб в кожному було по одній невідомій силі.
Рекомендується складати рівняння моментів щодо трьох точок, точок перетину ліній дії невідомих сил.
У нашій задачі це точка А. де прикладені невідомі і; точка С. де перетинаються лінії дії невідомих сил і; точка D - точка перетину ліній дії сил і. Складемо рівняння проекцій сил на вісь у (на вісь х проектувати не можна, тому що вона перпендикулярна прямій АС).
І, перш ніж складати рівняння, зробимо ще одну корисну зауваження. Якщо на розрахунковій схемі є сила, розташована так, що плече її знаходиться непросто, то при визначенні моменту рекомендується попередньо розкласти вектор цієї сили на дві, більш зручно спрямовані. У цьому завданню розкладемо силу на дві: і (мал.37) такі, що модулі їх
З другого рівняння знаходимо:
Так як вийшло S <0, то стержень ВС будет сжат.
Приклад 6. Прямокутна полку вагою Р утримується в горизонтальному положенні двома стрижнями РЄ та СD. прикріпленими до стіни в точці Е. Стрижні однакової довжини, AB = 2a. EO = a. Визначимо зусилля в стрижнях і реакції петель А і В.
Розглядаємо рівновагу плити. Будуємо розрахункову схему (ріс.46). Реакції петель прийнято показувати двома силами перпендикулярними осі петлі:.
Сили утворюють систему сил, довільно розташованих в просторі. Чи можемо скласти 6 рівнянь. Невідомих - теж шість.
Які рівняння складати - треба подумати. Бажано такі, щоб вони були простіше і щоб в них було поменше невідомих.
Складемо такі рівняння:
З рівняння (1) отримаємо: S1 = S2. Тоді з (4):.
З (3): YA = YB і, по (5),. Значить З рівняння (6), тому що S1 = S2. слід ZA = ZB. Тоді по (2) ZA = ZB = P / 4.
З трикутника. де. слід.
Тому YA = YB = 0,25P, ZA = ZB 0,25P.
Для перевірки рішення можна скласти ще одне рівняння і подивитися, задовольняється чи воно при знайдених значеннях реакцій:
Завдання вирішена правильно.