Назва «модальне керування» пояснюється використовуваним в зарубіжній літературі терміном «мода» для позначення окремих складових вільного руху. Суть модального управління полягає у визначенні значень коефіцієнтів передачі безінерційних зворотних зв'язків по всім змінним стану об'єкта (u = -k × x) з метою забезпечення заданого розподілу коренів характеристичного рівняння замкнутої САУ.
Коріння характеристичного рівняння САУ повністю визначають стійкість лінійної системи. У свою чергу, коріння однозначно залежать від коефіцієнтів рівняння, тому модальне керування можна трактувати як цілеспрямована зміна коефіцієнтів характеристичного рівняння об'єкта за допомогою безінерційних ОС.
З літератури відомі стандартні види характеристичних поліномів 1-8 порядків і відповідні їм графіки перехідних процесів із зазначеними на них показниками якості (біноміальні поліноми Ньютона, поліноми Баттерворта і ін.). Виходячи з порядку об'єкта і заданих в технічному завданні показників якості САУ, можна вибрати необхідний графік перехідного процесу і відповідний йому «стандартний» характеристичний поліном, а потім виконати синтез модальних ОС, що забезпечують задані показники якості САУ. Таким чином, теорія модального управління дозволяє здійснювати синтез багатоконтурних замкнутих САУ з наперед заданими показниками якості.
Основні переваги модального управління:
1. Синтезована модальна САУ не вимагає перевірки на стійкість (так як вона заздалегідь повинна бути стійкою і мати необхідними запасами стійкості).
2. Синтезована модальна САУ не вимагає введення додаткових коригуючих пристроїв (так як вона сама вже задовольняє необхідним показниками якості).
3. Введення модальних ОС, в силу їх безінерційні, не підвищує порядок об'єкта і не порушує його керованість і наблюдаемость (що може статися при введенні пасивних інерційних коригувальних пристроїв).
4. Технічна реалізація модальних САУ здійснюється відносно просто і економічно за допомогою малопотужних вимірювально-перетворювальних пристроїв і електронних підсилювачів.
Розглянемо методику синтезу модальних регуляторів.
3.5.1 Синтез для випадку повністю керованого об'єкта
з одним входом
Рівняння повністю керованого об'єкта з одним входом має вигляд:
. .
Потрібно визначити коефіцієнти передачі модального регулятора
,
при яких замкнута САУ мала б бажаний «стандартний» характеристичний поліном
1. Визначаємо характеристичний поліном Q (p) матриці A
Q (p) = | pE -A | Þ p n + q1p n -1 + ... + qn -1p + qn.
2. Обчислюємо коефіцієнти передачі регулятора в канонічному базисі, які записуються у вигляді вектор-рядка
Елементи вектора визначаються як різниці відповідних коефіцієнтів бажаного характеристичного полінома Q * (p) і характеристичного полінома Q (p) матриці A.
3. Складаємо матрицю керованості R в вихідному базисі
.
4. Для полінома Q (p) складаємо канонічну пару
5. Складаємо матрицю керованості в канонічному базисі
.
6. Обчислюємо матрицю перетворення P
7. Обчислюємо вектор-рядок коефіцієнтів передачі регулятора в вихідному базисі kT
Для перевірки отриманого рішення задачі доцільно обчислити матрицю G = A-bkT і визначити її характеристичний поліном
Збіг коефіцієнтів цього полінома з відповідними коефіцієнтами бажаного полінома (3.47) вказує на правильність рішення задачі.
Зазначений алгоритм легко реалізується для обчислень на комп'ютері на базі стандартних програм матричної алгебри.
Приклад 1. Задані структурна схема і параметри об'єкта (рис. 3.22).
Мал. 3.22. Структурна схема об'єкта
Коріння характеристичного рівняння даного об'єкта
p1 = -1 / T1 = -2; p2 = -1 / T2 = -1, отже, ступінь його стійкості # 951; = 1. Потрібно визначити коефіцієнти зворотних модальних зв'язків k1. k2. забезпечують бажані значення коренів p1 = p2 = -3 і відповідну їм ступінь стійкості # 951; = 3 замкнутої системи.
Рівняння ланок об'єкта
Далі діємо згідно з наведеним вище алгоритмом.
1. Визначаємо згідно (3.48) характеристичний поліном Q (p) матриці A
Q (p) = | pE -A | = Þ q1 = 3, q2 = 2.
2. Визначаємо згідно (3.47) бажаний характеристичний поліном Q * (p)
3. Обчислюємо коефіцієнти передачі регулятора в канонічному базисі згідно (3.49)
.
4. Складаємо матрицю керованості R в вихідному базисі згідно (3.50)
.
5. Для полінома Q (p) складаємо канонічну пару згідно (3.51)
6. Складаємо матрицю керованості в канонічному базисі згідно (3.52)
7. Обчислюємо матрицю перетворення P згідно (3.53)
8. Обчислюємо вектор-рядок коефіцієнтів передачі регулятора в вихідному базисі kT згідно (3.54)
Отриманий характеристичний поліном замкнутої модальної системи співпадає з раніше бажаним полиномом Q * (p), отже, коефіцієнти k1. k2 визначені правильно.
Безінерційні модальні зворотні зв'язки змінюють загальний коефіцієнт передачі системи і тим самим впливають на стале значення вихідної змінної об'єкта. Щоб виключити такий вплив, досить на вході системи (рис. 3.22) встановити безінерційний підсилювач, коефіцієнт посилення ky якого визначається з умови рівності коефіцієнта посилення K замкнутої модальної САУ і коефіцієнта посилення k0 самого об'єкта:
3.5.2 Синтез для випадку об'єкта, заданого
передавальної функцією
Модель об'єкта представлена в формі передавальної функції
Цією передавальної функції відповідає диференціальне рівняння
Ввівши позначення x = x1. далі отримаємо
або в більш компактній формі
Тут матриці A і b вже мають нормальну форму (3.51), т. Е.
A =, b =, тому відповідно до (3.52). а згідно (3.53). Тоді на підставі (3.54) маємо
Перше з рівності (3.61) означає, що в даному випадку коефіцієнти передачі модального регулятора відразу ж можуть бути обчислені за формулами (3.49). Остання рівність в (3.61) означає, що на виході такого регулятора послідовно з ним потрібно включити загальний для всіх каналів регулятора підсилювач з коефіцієнтом посилення рівним величині (це рівноцінно зменшенню всіх розрахункових коефіцієнтів регулятора в раз).
Підставивши (3.61) в (3.60), отримуємо
Для перевірки рішення слід, як і раніше, обчислити матрицю
G = A-bkT і визначити її характеристичний поліном.
Приклад 2.Пусть об'єкт являє собою апериодическое ланка другого порядку (рис. 3.23) з тими ж значеннями параметрів. Відмінність же полягає в тому, що тепер доступною для управління є тільки одна вихідна змінна об'єкта x1.
Потрібно визначити коефіцієнти k. k1. k2. при яких "стандартний" характеристичний поліном модальної САУ мав би раніше прийнятий вид
Мал. 3.22. Структурна схема об'єкта
Подібно (3.56) представимо передатну функцію об'єкта в наступній формі
Далі знаходимо шукані коефіцієнти
Таким чином, при тих же параметрах об'єкта, але вимірюваної тільки однією з його змінних отримали збільшені, в порівнянні з прикладом 1, значення коефіцієнтів модальних ОС.
Записуємо матриці об'єкта в нормальній формі
;
Отриманий поліном збігається з раніше прийнятим "стандартним" характеристичним поліномом Q (p), отже, коефіцієнти k1. k2 визначені правильно.
Для визначення коефіцієнта підсилювача ky запишемо коефіцієнт передачі всієї системи і прирівняємо його до коефіцієнта передачі самого об'єкта:
,
т. е. отримали те ж значення, як і в прикладі 1, що додатково підтверджує правильність обчислених коефіцієнтів k. k1. k2.