Знак рівності використовується в математиці дуже часто, і сенс, який надається цьому знаку, далеко не завжди один і той же. Так, часто ми поєднуємо знаком рівності два числа, наприклад:
1370 = 3 2 × 5 · 31 (1);
Кожна така запис являє собою деякий висловлювання, яке може бути істинним або хибним. Серед наведених вище чотирьох висловлювань такого роду друге, третє і четверте є істинними, а перше - хибним.
Для того щоб переконатися в істинності (або хибності) такого висловлювання, нерідко буває потрібно зробити ті чи інші дії: додавання дробів, розкладання на множники, зведення суми двох чисел в квадрат і т. П. Однак сенс знака рівності у всіх цих випадках один і той же: істинність такого висловлювання означає, що зліва і праворуч від знака рівності варто один і той-же число (тільки, може бути, записане по-різному).
Подібні висловлювання виду ми будемо називати числовими рівностями. Якщо деякий числове рівність являє собою справжнє висловлювання, то для стислості кажуть: «це - вірне рівність». Так, рівність (2) - вірне. Якщо ж якийсь числове рівність являє собою помилкове висловлювання, то для стислості кажуть: «це-невірне рівність». Так, (1) -неверное рівність.
В іншому сенсі застосовується знак =, коли йдеться про рівність функцій. Нагадаємо, що дві функції f (х) і g (х) вважаються рівними (т. Е. Збігаються), якщо, по-перше, області визначення цих двох функцій збігаються і, по-друге, для будь-якого числа х0. належить загальної області визначення цих функцій, значення функцій в точці х0 збігаються, т. е. вірно числове рівність f (х0) = g (x0). Рівність функцій (х) і g (x) зазвичай висловлюють записом f (x) = g (x).
Наприклад, ми пишемо (х 2 + 1) 6 = х 3 + Зx 4 +. Зx 2 + 1, висловлюючи цим записом той факт, що зліва і праворуч від знака = стоять рівні функції (т. Е. Зліва і справа стоїть одна і та ж функція, тільки, можливо, записана по-різному).
У записі, що виражає рівність (т. Е. Збіг) двох функцій, замість знака = часто використовують знак, званий знаком тотожної рівності.
Запис f (x) g (x) означає збіг функцій f (х) і g (x). Запис рівності двох функцій (т. Е. Співвідношення f (х) = g
Підкреслимо ще раз: коли ми говоримо, що f (x) = g (x) є тотожність, то це означає, що області визначення функцій f (х) і g (х) збігаються і при цьому для будь-якого х0. належить цій області визначення, справедливо числове рівність f (x0) = g (x0).
Прикладами тотожностей можуть служити співвідношення:
(X + 1) 2 = x 2 + 2x + 1,
sin 2 x = 1 - cos 2 x.
Іноді при розгляді тотожностей доводиться обмежувати області визначення функцій. Саме, будемо говорити, що рівність f (x) = g (x) є тотожністю на безлічі М, якщо, по-перше, безліч М міститься в області визначення кожної з функцій f (x), g (х) і, по- друге, для будь-якого числа х0. належить безлічі М, справедливо числове рівність f (x0) = g (x0) У цьому випадку пишуть:
Приклад 1. Рівність є тотожністю на безлічі невід'ємних чисел, т. Е. X при х 0.
Зауважимо, що обидві функції y = і y = х визначені на множині всіх дійсних чисел, але значення їх збігаються лише на безлічі невід'ємних чисел. На множині всіх дійсних чисел співвідношення тотожністю не є.
Приклад 2. Розглянемо рівність arcsin (sinx) =. Обидві функції (стоять в лівій і правій частинах рівності) визначені на множині всіх дійсних чисел. Однак написане рівність є тотожністю лише на відрізку [0,], т. Е. Arcsin (sin x) = при 0 x Зрозуміло, при написанні тотожностей зовсім не обов'язково позначати аргумент функцій буквою х. Можна аргумент позначити буквою z, буквою а чи будь-яким іншим символом.
(Z + 7) 2 = z 2 - 14z + 49,
(А - 1) (а 2 + а + 1) = а 3 - 1
є тотожністю на множині всіх дійсних чисел (або навіть на безлічі всіх комплексних чисел), Можна також розглядати функції, що залежать від двох або більшого числа аргументів, і писати тотожності для таких функцій. Звичайно, і в цьому випадку треба вказувати, при яких значеннях аргументів написане рівність є тотожністю.
Наприклад, рівність log2 a b = b log2 a є тотожністю при а> 0 і будь-якому дійсному b; рівність
є тотожністю при x + k, y + n, x + y + m, де k, n m-будь-цілі числа, і т. д.
Ми розглянули два випадки використання знака = в алгебрі: для запису числових рівностей і для запису тотожностей (в останньому випадку він іноді замінюється знаком. В зовсім іншому сенсі використовується знак = при розгляді рівнянь. Рівняння з одним невідомим х в загальному випадку записується у вигляді
де f (х) і g (x) - довільні функції, Таким чином, за зовнішнім виглядом рівняння виглядає так само, як і тотожність: дві функції, з'єднані знаком рівності. Але коли ми говоримо, що співвідношення (5) є рівняння, то це показує наше ставлення до цієї рівності. Саме, коли ми говоримо, що (5) є рівняння, то це означає, що рівність (5) розглядається як невизначений висловлювання (при одних значеннях х справжнє, при інших-помилкове), і ми цікавимося знаходженням коренів цього рівняння, т. Е . таких значень х, при підстановці яких це невизначене висловлювання стає справжнім. Більш детально, коренем (або рішенням) рівняння називається всяке число, при підстановці якого замість невідомого в обидві частини рівняння виходить справедливе (правильне) числове рівність. Але що значить «виходить справедливе числове рівність»? Це означає, по-перше, що при підстановці цього числа замість невідомого всі дії, зазначені в лівій і правій частинах рівняння, виявляються здійсненними і, по-друге, в результаті виконання цих дій в лівій і правій частинах виходить одне і те ж число. Інакше кажучи, число а називається коренем рівняння (5), якщо, по-перше, це число належить як області визначення функції f (x), так і області визначення функції g (x) і, по-друге, значення цих функцій в точці а збігаються, т. е.
f (a) = g
Отже, якщо сказано, що рівність (5) розглядається як рівняння, то це означає, що ми цікавимося знаходженням коренів цього рівняння, т. Е. Тих значень, які звертають співвідношення (5) в правильну числову рівність.
Приклад 3. Для рівняння (х - 1) 2 = х 2 - 2x + 1 будь-яке дійсне число b є коренем, так як рівність (b - 1) 2 = b 2 - 2b + 1 має місце для будь-якого дійсного числа b.
Приклад 4. Якщо розглядати рівняння | х | = Х на множині всіх дійсних чисел, то всяке невід'ємне число є коренем цього рівняння (інших коренів немає).
Приклад 5. Рівняння lgx = 1g (- х) не має рішень, так як ліва частина цього рівняння визначена при позитивних значеннях х, а права - при негативних, т. Е. Області визначення лівої і правої частин не мають спільних точок.
Приклад 6. Рівняння cosx = 2 не має рішень на множині дійсних чисел, так як | cosx0 | 1 для будь-якого дійсного числа х0.
Приклад 7. Рівняння х 2 = -1 не має рішень на безліч дійсних чисел і має два рішення, x = i і х = -i. на безлічі комплексних чисел.
Якщо знайдена деяка сукупність значень х, кожне з яких є коренем рівняння f (x) = g (x), то це ще не означає, що ми вирішили рівняння.
Вирішити рівняння - означає знайти всі його рішення (або довести, що рівняння не має рішень).
Відзначимо, що немає сенсу ставити питання, «чи є рівність f (x) = g (x) тотожністю або рівнянням». Одне і те .ж рівність f
Приклад 8. Рівність можна розглядати і як тотожність, і як рівняння. Якщо ми ставимося до цієї рівності як до тотожності, то найбільш повною формулюванням буде наступна: рівність є тотожністю при x> 0. Якщо ж ми ставимося до цієї рівності як до рівняння, то це означає, що ми розглядаємо задачу: вирішити рівняння т. Е . ставимо питання про те, якими є коріння цього рівняння. Відповідь буде такий: корінням рівняння є всі невід'ємні числа і тільки вони.
Приклад 9. Безглуздо ставити питання, чи є співвідношення 0 · x + 5 = 5 тотожністю або рівнянням. Ми можемо сказати, що воно є тотожністю на множині всіх дійсних чисел. Але ми можемо також розглядати це співвідношення як рівняння і тоді скажемо, що корінням цього рівняння є всі дійсні числа.
Зауваження. Крім розглянутих вище випадків використання знака = в математиці зустрічаються і інші. Так, вираз виду «розглянемо функцію f (x) = x 3 - Зх 2 + 5x + 11» часто використовується в якості визначення. У цьому випадку знак = має той сенс, що всюди в проведеному міркуванні f (х) буде позначати саме цю функцію.