ал - Хорезмі, як і всі математики до XVII в. е враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь ал - Хорезмі на приватних числових прикладах викладає правила рішення, а потім і геометричні докази.
Завдання 14. «Квадрат і число 21 рівні 10 коріння. Знайти корінь »(мається на увазі корінь рівняння х2 + 21 = 10х).
Трактат ал - Хорезмі є першою, яка дійшла до нас книгою, в якій систематично викладена класифікація квадратних рівнянь і дано формули їх вирішення.
Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиного канонічного вигляду:
при всіляких комбінаціях знаків коефіцієнтів b. з було сформульовано в Європі лише в 1544 р М. Штіфель.
Висновок формули вирішення квадратного рівняння в загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав тільки позитивні коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших в XVI в. Враховують, крім позитивних, і негативні коріння. Лише в XVII ст. Завдяки праці Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб вирішення квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.
1.6 Про теорему Вієта
Теорема, що виражає зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння і його корінням, що носить ім'я Вієта, була їм сформульована вперше 1591 р наступним чином: «Якщо B + D. помножене на A-A2. одно BD. то A одно В і одно D ».
Щоб зрозуміти Вієта, слід згадати, що А. як і будь-яка голосна буква, означало у нього невідоме (наше х), голосні ж У, D - коефіцієнти при невідомому. Мовою сучасної алгебри вищенаведена формулювання Вієта означає: якщо має місце
Висловлюючи залежність між країнами і коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, записаними за допомогою символів, Виет встановив однаковість в прийомах рішення рівнянь. Однак символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чисел і з цього при вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли все коріння позитивні.
2. Способи вирішення квадратних рівнянь
Квадратні рівняння - це фундамент, на якому покоїться велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при вирішенні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь і нерівностей. Всі ми вміємо вирішувати квадратні рівняння зі шкільної лави (8 клас), до закінчення вузу.
У шкільному курсі математики вивчаються формули коренів квадратного рівняння, за допомогою яких можна вирішувати будь-які квадратні рівняння. Однак є й інші способи вирішення квадратних рівнянь, які дозволяють дуже швидко і раціонально вирішувати багато рівняння. Є десять способів вирішення квадратних рівнянь. Детально в своїй роботі я розібрала кожен з них.
1. СПОСІБ. Розкладання лівій частині рівняння на множники.
Розкладемо ліву частину на множники:
х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х (х + 12) - 2 (х + 12) = (х + 12) (х2).
Отже, рівняння можна переписати так:
Так як добуток дорівнює нулю, то, по крайней мере, один з його множників дорівнює нулю. Тому ліва частина рівняння звертається нуль при х = 2. а також при х = - 12. Це означає, що число 2 і - 12 є корінням рівняння х2 + 10х - 24 = 0.
2. СПОСІБ. Метод виділення повного квадрата.
Вирішимо рівняння х2 + 6х - 7 = 0.
Виділимо в лівій частині повний квадрат.
Для цього запишемо вираз х2 + 6х в наступному вигляді:
В отриманому виразі перший доданок - квадрат числа х, а друге - подвоєне твір х на 3. За цим щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 32, так як
Перетворимо тепер ліву частину рівняння
додаючи до неї і віднімаючи 32. Маємо:
Таким чином, дане рівняння можна записати так:
Отже, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, або х + 3 = -4, х2 = -7.
3. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь за формулою.
Помножимо обидві частини рівняння
на 4а і послідовно маємо:
Отже, якщо дискримінант дорівнює нулю, тобто b2- 4ac = 0. то рівняння
Дане рівняння коренів не має.
Отже, якщо дискримінант від'ємний, тобто b2- 4ac<0.
Формула (1) коренів квадратного рівняння ах2 + b х + с = 0 дозволяє знайти коріння будь-якого квадратного рівняння (якщо вони є), в тому числі наведеного та неповного. Словесно формула (1) виражається так: коріння квадратного рівняння рівні дробу, чисельник якої дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, плюс мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта без почетвереній твори першого коефіцієнта на вільний член, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.
4. СПОСІБ: Рішення рівнянь з використанням теореми Вієта.
Як відомо, наведене квадратне рівняння має вигляд
Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а = 1 має вигляд
Звідси можна зробити наступні висновки (за коефіцієнтами p і q можна передбачити знаки коренів).
а) Якщо зведений член q наведеного рівняння (1) позитивний (q> 0), то рівняння має два однакових за знаком кореня і це заздрості від другого коефіцієнта p. якщо р <0. то оба корня отрицательны, если р <0. то оба корня положительны.
б) Якщо вільний член q наведеного рівняння (1) негативний (q<0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0. или отрицателен, если p> 0.
5. СПОСІБ: Рішення рівнянь способом «перекидання».
Розглянемо квадратне рівняння
Помноживши обидві його частини на а, отримуємо рівняння
Нехай ах = у. звідки х = у / а; тоді приходимо до рівняння
рівносильно даному. Його коріння в1 і у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.
При цьому способі коефіцієнт а множиться на вільний член, як би «перекидається» до нього, тому його називають способом «перекидання». Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти корені рівняння, використовуючи теорему Вієта і, що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.
Вирішимо рівняння 2х2- 11х + 15 = 0.
Рішення. «Перекинути» коефіцієнт 2 до вільного члену, в результаті отримаємо рівняння
Згідно з теоремою Вієта
6. СПОСІБ: Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.
А. Нехай дано квадратне рівняння
1) Якщо, а + b + с = 0 (тобто сума коефіцієнтів дорівнює нулю), то х1 = 1,
Доведення. Розділимо обидві частини рівняння на а # 63; 0, отримаємо наведене квадратне рівняння
Згідно з теоремою Вієта