Тема 1 НЕРІВНОСТІ. Основні властивості.
^ ДІЇ НАД нерівність
1.1 Нерівність - це співвідношення, в якому два алгебраїчних вирази з'єднані знаком> (більше). (Більше або дорівнює), b, a b, де а і b можуть бути як числами, так і функціями.
^ Приклади числових нерівностей: 25 (-7), (-8) 2. 0; (Нерівність справедливо для таких a і b з області допустимих значень змінних, при яких обидві частини нерівності мають сенс).
Якщо нерівність містить знаки:
Нехай a і b числа, aR, bR, тоді:
a b, то b b, b> с, то а> с.
1.2.3 Якщо a> b, то a + з> b + с.
1.2.4 Якщо a> b, c> d, то a + c> b + d.
1.2.5 Якщо a> b, c b-d.
^ 1.2.6 Якщо обидві частини нерівності помножити на позитивне число, то знак нерівності не зміниться:
якщо a> b і m> 0, то am> bm.
Наприклад: Нехай задано нерівність 5 (-7). Якщо помножити обидві частини нерівності на 3, то 53 (-7) 3 15-21).
^ Якщо обидві частини нерівності помножити на негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний:
якщо a> b і m0, то ambm.
Наприклад: Нехай задано нерівність 5 (-7). Якщо помножити обидві частини нерівності на (-3), то 5 (-3) (-7) (-3) (15) 21).
1.2.7 Якщо a> b> 0, c> d> 0, то ac> bd.
1.2.8 Якщо a> b> 0; то a n> b n.
1.2.9 Якщо a> b> 0, то.
1.2.10 Якщо a> b> 0, то.
^ 1.3. Деякі важливі нерівності
1) Для будь-якого дійсного числа а0 виконується нерівність:
Для будь-яких дійсних чисел а і b виконуються нерівності:
читають: абсолютна величина суми двох дійсних чисел не більше суми абсолютних величин цих чисел;
читають: абсолютна величина різниці двох чисел не менше абсолютної величини різниці абсолютних величин цих чисел;
читають. сума квадратів двох дійсних чисел не менше абсолютної величини подвоєного твори цих чисел; рівність буде при;
5) Якщо а і b - дійсні числа одного знака (аb0), то:
рівність буде при а = b;
^ 6) Нерівність Коші: якщо а і b - невід'ємні дійсні числа, то
середнє арифметичне двох невід'ємних дійсних чисел не менше їх середнього геометричного.
^ 1.4 Арифметичні дії з нерівностями
Правила виконання арифметичних дій:
1.4.1 Додавання. два нерівності одного знака можна почленно скласти. Отримаємо нерівність того ж знака.
1.4.2 Віднімання: два нерівності протилежних знаків можна почленно віднімати. Отримаємо знак того нерівності, з якого віднімаємо.
1.4.3 Множення: два нерівності однакового знака з позитивними членами можна почленно множити. Отримаємо нерівність того ж знака.
1.4.4 Розподіл: два нерівності протилежних знаків з позитивними членами можна почленно ділити. Отримаємо нерівність, яке має знак першого нерівності.
Завдання для самостійної роботи
1.1 Виконати дії:
1.2 У множити обидві частини нерівності на зазначені множники:
1.3 Розділити обидві частини нерівності на зазначені подільники:
Тема 2 РІШЕННЯ НЕРІВНОСТЕЙ ПЕРШОЇ СТУПЕНЯ
Визначення Нерівністю першого ступеня називається нерівність виду a1x + b1> a2x + b2 (а і b - дійсні числа). Послепростих перетворень воно набуде вигляду . Розділимо ліву і праву частину нерівності на а. тоді:
якщо a> 0, то;
якщо а 0, то нерівність вірно при будь-яких значеннях х х (-; + );
якщо а = 0 і b0, то нерівність рішень не має х.
Вирішити нерівність - значить знайти безліч його рішень.
Визначення Два нерівності, які мають одну невідому величину, називають рівносильними (еквівалентними). якщо безлічі їх рішень збігаються.
Наприклад: 1) 3х0 і - рівносильні нерівності, так як вони мають спільне безліч рішень: х (-; 0);
2) 7х0 і - НЕ рівносильні нерівності, так як вони мають такі рішення: 7х0 х0; + ); х (0; + ).
Приклади розв'язання завдань
Завдання для самостійної роботи
2.1 У казать рівносильні нерівності:
Тема 3 РІШЕННЯ СИСТЕМ НЕРІВНОСТЕЙ ПЕРШОЇ СТУПЕНЯ
Розглянемо два нерівності першого ступеня з однією змінною: і. Знайдемо такі значення змінної х, які задовольняють кожне нерівність. При таких умовах маємо систему лінійних нерівностей:
Рішенням системи називається безліч значень змінної х, при яких кожне нерівність системи перетворюється в правильне числове нерівність. Щоб вирішити систему нерівностей, треба:
- вирішити кожне нерівність системи;
- знайти безліч спільних рішень цих нерівностей.
Приклади розв'язання завдань
1 Вирішити систему нерівностей:
Н Айдем безліч загальних
рішень першого та другого
нерівностей (рис. 4):
Завдання для самостійної роботи
Вирішити системи нерівностей:
Тема 4 РІШЕННЯ НЕРІВНОСТЕЙ ДРУГИЙ І ВИЩИХ СТУПЕНІВ
Визначення Нерівністю другого ступеня з однією змінною називається нерівність виду ax 2 + bx + c> 0 або ax 2 + bx + c 2 + 3x + 2> 0. Після множення на (-1) отримаємо нерівність 5x 2 -3x-2 2 + bx + c> 0 позначити літерою "y", то отримаємо квадратичну функцію y = ax 2 + bx + c, де а> 0. Її графік - парабола, гілки якої завжди спрямовані вгору (рис. 7). якщо:
D> 0, то парабола перетинає вісь ОХ в точках х1 і х2;
D = 0, то парабола стосується осі ОХ в точці х1 = х2;
D0, то парабола не перетинає осі ОХ.
Приклади розв'язання завдань
Вирішити квадратне нерівність:
1) у = x 2 -5x + 4, а = 10 - гілки параболи спрямовані вгору;
D = b 2 -4ac = 25-16 = 9> 0 - парабола перетинає вісь ОХ в точках х1 і х2;
Помножимо ліву і праву частини нерівності на (-1). Тоді матимемо нерівність x 2 -6x + 90;
у = x 2 -6x + 9, а = 10 - парабола, гілки якої спрямовані вгору;
Нехай квадратне нерівність задано у вигляді: ax 2 + bx + c 0, де а? 0. Якщо дискримінант квадратного рівняння ax 2 + bx + c = 0 більше нуля (D = b 2 -4ac => 0), то рівняння мають два корені х1 і х2.
Тоді квадратний трічлен можна розкласти на множники, а нерівність записати у вигляді
Для вирішення квадратних нерівностей застосовують метод інтервалів.
В основу методу інтервалів покладені такі твердження:
1) Якщо хi - така точка, що показник ступеня hi для виразу - число непарне, то справа і зліва від хі (на сусідніх проміжках) функція має різні знаки.
Якщо hi - парне число, то точка хі - проста.
Наприклад: Маємо функцію у = (х + 1) (х-4) 3. точки а1 = (- 1) и 2 = 4 - прості.
^ При переході через просту точку функція у змінює знак.
2) Якщо хi - така точка, що показник ступеня hi для виразу - число парне, то справа і зліва від хі (на сусідніх проміжках) функція має однакові знаки. Якщо hi - парне число, то точка аі - подвійна.
^ При переході через подвійну точку функція у не змінює знак.
Наприклад: Маємо функцію у = (х + 5) 2. точка а = (- 5) - подвійна.
Алгоритм рішення нерівностей методом інтервалів
На числову пряму наносяться всі нулі і точки розриву (критичні точки) заданої функції у.
Визначають знак нерівності на кожному з числових проміжків. Обов'язково враховують, що при переході через просту точку функція змінює знак на протилежний. При переході через подвійну точку функція знак не змінює.
Вибирають проміжки відповідно до знаком нерівності:
якщо функція має знак "+", то на даному проміжку у0;
якщо функція має знак "-", то на даному проміжку у0.
Приклади розв'язання нерівностей методом інтервалів
Позначимо ці точки на числовій прямій (рис. 11).
Примітка Нерівність суворе. Тоді точки 3 і 5 виключаємо з рішення.
2) Точки х1 і х2 ділять числову пряму на 3 інтервали:
3) Визначимо знак нерівності на проміжку (5; + ):
Нехай х = 6> 5, тоді маємо нерівність.
4) Подвійних точок нерівність не має. Тоді можна застосувати правило зміни знака: на проміжку (3; 5) "-";
5) Виберіть проміжки із знаком нерівності "+".
2 х 2 -7х + 12 2 -7х + 12 на множники. Вирішимо квадратне рівняння х 2 -7х + 12 = 0.
D = b 2 -4ac = 7 2 -412 = 49-48 = 1> 0
Тоді нерівність х 2 -7х + 12 4, тоді;
Примітка Нерівність Нечитка. Точки (-7), 3 і 5 треба включити в рішення.
Визначаємо знак нерівності на інтервалі 5; + ):
Візьмемо х = 6> 5, тоді.
4) Подвійних точок нерівність не має. Тоді можна застосувати правило зміни знака: 3; 5] - "+"; [-7; 3] - "-"; (-; -7] - "+".
4 (х + 3) (х + 3) (х-2) 2 (х-2) 2, тоді маємо нерівність;
(-3; 2): нехай х = 1> -3, тоді маємо нерівність.
5) Точка х = -3 подвійна. Тоді на проміжках (; -3) і (-3; 2) знак нерівності "-".
6) Візьмемо проміжки із знаком нерівності "-".
^ Завдання для самостійної роботи