С. Легошин,
фізико-математичний ліцей №2,
м Бугульма
Шкільна програма не передбачає вироблення міцних навичок вирішення завдань, що містять параметри, всіма учнями, і більш глибоке вивчення можливо тільки на позакласних заняттях. Не можна дати універсальних вказівок щодо вирішення завдань з параметрами. Але для нерівностей першого і другого ступеня з параметрами при заданому умови можна рекомендувати використовувати графічний метод рішення, як більш наочний. При цьому вчитель може розглянути завдання, що включають кілька можливих випадків.
Активному і свідомому засвоєнню учнями методів вирішення нерівностей першого і другого ступеня з параметрами сприяє актуалізація знань про властивості лінійної і квадратичної функцій і їх графіках.
Визначення. Функція виду y = kx + b. де k і b - довільні числа, називається лінійною функцією.
Графіком лінійної функції є пряма з кутом нахилу до осі абсцис дорівнює j. де tg j = k. Якщо k> 0, то кут j гострий; якщо k <0, то угол j тупой; если k = 0, то график либо совпадает с осью абсцисс, либо параллелен ей.
Завдання 1. При яких значеннях k нерівність (k - 4) x + k - 5 <0 справедливо для всех x. удовлетворяющих условию | x | Ј 3?
Завдання 2. Знайти всі значення a. при яких для всіх x. б відповідала умовам | x | Ј 1, справедливо нерівність.
Завдання 3. При яких значеннях a нерівність 2x - a 2 + 5 <0 верно при всех значениях x. удовлетворяющих условию | x | <2?
Завдання 4. При яких значеннях m нерівність (m - 2) x + 2m - 16 <0 верно при всех значениях x. удовлетворяющих условию | x | і 5?
Завдання 5. При яких значеннях b нерівність вірно при всіх x. б відповідала умовам | x | Ј 2?
Нерівності другого ступеня
Визначення. Функція, що задається формулою ax 2 + bx + c. де a № 0, називається квадратичною функцією.
Графік квадратичної функції має вигляд, зображений на рис. 6, і називається параболою. Точка графіка з абсцисою називається вершиною параболи, ордината цієї точки дорівнює
При a> 0 «гілки» параболи спрямовані вгору, а при a <0 – вниз. Каждый из этих двух случаев разбивается на три подслучая в зависимости от числа корней уравнения.
При D = b 2 - 4ac> 0 рівняння ax 2 + bx + c = 0 має два дійсних кореня
При D = 0 рівняння має один корінь. задається і в тому числі формулою (1).
при D <0 уравнение не имеет действительных корней.
Розглянемо розташування графіка по відношенню до осі абсцис у всіх шести випадках (рис. 7).
Завдання 1. При яких значеннях m нерівність mx 2 - 2 (m + 3) x + m <0 верно при всех x. удовлетворяющих условию – 2 Ј x Ј 1?