Піфагор, є в інтелектуальному відношенні одним з найбільш значних людей, коли-небудь жили на землі, - і в тому випадку, коли він був мудрий, і в тому випадку, коли таким не був. Математика в сенсі доказового дедуктивного обґрунтування починається саме з Піфагора. У Піфагора вона виявилася тісно пов'язаної з особливою формою містицизму. Вплив математики на філософію, пов'язане частково з ім'ям цього філософа, було з тих пір як благодійним (profound), так і тяжким явищем.
Почнемо з того небагато чого, що відомо про його життя. Він був уродженцем острова Самоса, розквіт його діяльності припадає приблизно на 532 рік до н.е. Деякі кажуть, що він був сином заможного громадянина на ім'я Мнесарх, інші ж вважають, що він був сином бога Аполлона; я надаю читачеві вибирати між двома цими протилежними версіями. За часів Піфагора островом Саме керував тиран Полікрат, старий негідники, володар незліченних багатств і величезного флоту.
Саме був торговим суперником Мілета; його купці на своїх судах заходили так далеко на Захід, що досягали Тартесса в Іспанії, який був знаменитий своїми рудниками. Полікрат став тираном Самоса близько 535 року до н.е. і правил до 515 року до н.е. Докори совісті не дуже мучили Поликрата. Він позбувся двох своїх братів, які спочатку були спільниками в його тиранії, а свій флот він значною мірою використав для піратства. Полікрат витягнув користь з тієї обставини, що незадовго перед цим Мілет позбувся самостійності внаслідок перського завоювання. Для того, щоб перешкодити будь-якої подальшої експансії персів на Захід, Полікрат вступив в союз з фараоном Єгипту Амасисом. Але коли перський цар Камбіс направив всю свою енергію на підкорення Єгипту, Полікрат зрозумів, що перси, ймовірно, переможуть, і перекинувся на їхній бік. Свій флот, екіпажі якого складалися з його політичних противників, він направив проти Єгипту, але команди судів збунтувалися і повернули назад на Самое, щоб напасти на нього. Полікрат здобув над ними перемогу, проте врешті-решт став жертвою внаслідок віроломного використання його жадібності. Перська сатрап в Сардах повернув справу так, що він має намір повстати проти "великого царя" і заплатив би Полікрата великі суми за допомогу. Полікрат поїхав на материк для пояснення, де був схоплений і розіп'ятий.
Полікрат був покровителем мистецтв, він прикрасив Саме чудовими зразками громадських робіт. У ролі придворного поета Полікрата виступав Анакреон. Піфагору не було, однак, до душі правління Полікрата, тому він покинув Саме. Кажуть, що Піфагор побував у Єгипті (і це правдоподібно), де почерпнув багато мудрості, але, так чи інакше, точно відомо, що Піфагор влаштувався в кінці кінців в Кротоні - місті, розташованому в Південній Італії.
Грецькі міста в Південній Італії, подібно Самосу Милету, були процвітаючими багатими містами. Крім того, їм не загрожувала небезпека з боку персів (22). Двома найбільшими містами Південної Італії були Сибарис і Кротон. Сибарис увійшов в приказку завдяки розкоші; в кращі часи населення Сибариса, за свідченням 4 Діодора, досягало майже 300 000 чоловік, хоча ця цифра, безсумнівно, є перебільшеною. Кротон був майже дорівнює за величиною Сібаріс. Обидва міста промишляли імпортом в Італію ионийских виробів, які частково тут же і споживалися, а почасти знову йшли на експорт з західного узбережжя в Галію і Іспанію. Різні грецькі міста в Італії жорстоко воювали один з одним. Коли Піфагор прибув в Кротон, це місто тільки що зазнав поразки від Локр. Однак незабаром після приїзду Піфагора Кротон здобув повну перемогу у війні проти Сибариса, який внаслідок цього був абсолютно зруйнований (510 рік до н.е.). Сибарис підтримував тісні торговельні зв'язки з Милетом. Кротон прославився своєю медичною школою; якийсь Демокед з Кротона став придворним лікарем Полікрата, а потім Дарія.
В Кротоні Піфагор заснував зі своїх учнів союз, який користувався протягом деякого часу впливом в цьому місті. Але, врешті-решт, громадяни міста виступили проти Піфагора, і він переїхав в Метапонт (теж в Південній Італії), де і помер. Незабаром Піфагор стає міфічною фігурою: йому стали приписувати чудеса і магічні здібності; крім того, Піфагор з'явився засновником школи математиків. Таким чином, дві протилежні традиції ведуть навколо його імені суперечка, і важко виділити істину.
Піфагор є однією з найбільш цікавих і загадкових особистостей в історії. Не тільки традиційні уявлення про його діяльність являють собою майже нерозкладних суміш істини і брехні, але навіть в своїй найпростішій і найменш спірної формі ці уявлення малюють нам досить дивний характер, яким володів Піфагор. Піфагора можна коротко охарактеризувати, сказавши, що він поєднує в собі риси Ейнштейна і місіс Едді (24). Піфагор заснував релігію, головні положення якої складалися у вченні про переселення душ (25) і гріховності вживання в їжу бобів. Релігія Піфагора знайшла своє втілення в особливому релігійному ордені, який то тут, то там набував контроль над державою і встановлював правління своїх святих. Але ті, які їх не було відроджено новою вірою, жадали бобів і рано чи пізно повставали. Ось деякі приписи пифагорейского ордена:
Утримуйся від вживання в їжу бобів.
Не торкайся до білого півня.
Чи не йди через перекладину.
Чи не розмішуй вогонь залізом.
Чи не відкушуй від цілої булки.
Чи не Обскубують вінок.
Не сиди на міркою в одну кварту.
Не ходи по великій дорозі.
Чи не дозволяй ластівкам жити під дахом.
Виймаючи горщик з вогню, щоб не залишив сліду його на золі, але перешкодь золу.
Чи не дивиться в дзеркало біля вогню.
Коли встаєш з ліжка, зверни постільна білизна і розгладити що залишилися на ньому сліди твого тіла.
Всі ці правила, відносяться до примітивних уявлень табу. Корнфорд ( "Від релігії до філософії") говорить, що, на його думку, "школа Піфагора є головна течія в тій раціоналістичної традиції, яку ми протиставляємо наукової тенденції". Він розглядає Парменіда, якого вважає "відкривачем логіки", як "відгалуження піфагореїзму і самого Платона - як людини, який знайшов в італійській філософії головне джерело свого натхнення". Піфагореїзм, каже він, був рухом реформи в орфизме, а орфизм був рухом реформи в культі Діоніса. Що проходить через всю історію протилежність між раціональним і містичним вперше з'являється у греків як протилежність між олімпійськими богами і тими іншими, менш цивілізованими богами, які мають більше схожості з примітивними віруваннями, що представляють собою предмет розгляду антропологів. При цьому поділі Піфагор стоїть на сторін містицизму, хоча його містицизм був специфічно інтелектуального роду. Піфагор приписував собі напівбожественний характер і, мабуть, говорив: "розумні живі істоти поділяються на [три види]: люди, боги і істоти, подібні Піфагору" (27). Всі системи, натхненні Піфагором, говорить Корнфорд, прагнуть до потойбіччя; вони відносять всі цінності до невидимого єдності в Бозі і проклинають видимий світ як помилковий і ілюзорний, як каламутну середу, в якій промені божественного світла переломлюються і розсіюються в темноті і туману ".
Як говорить Дикеарх, Піфагор вчив, "по-перше, що душа. Безсмертна, по-друге, що вона переселяється в інші види тварин, по-третє, що все, що колись сталося, через певні періоди [часу] відбувається знову, а нового немає абсолютно нічого, і в [четверте], що всі живі істоти. слід вважати спорідненими один одному ". Кажуть, що Піфагор, подібно святому Франциску, вимовляв перед тваринами проповіді.
В організоване ним суспільство на рівних умовах приймалися і чоловіки і жінки; всі члени суспільства володіли власністю спільно і вели однаковий спосіб життя. Точно так же наукові та математичні відкриття вважалися колективними і містичним чином приписувалися Піфагору навіть після його смерті. Гиппас з Метапонта, який порушив це правило, зазнав аварію корабля від божественного гніву, викликаного його неблагочестиві.
Зміни в значеннях слів іноді дуже повчальні. Вище я говорив про слово "оргія", тепер я хочу розглянути слово "теорія". Це слово було спочатку орфічним словом, яке Корнфорд тлумачить як «пристрасне і співчутливе споглядання". У цьому стані, каже Корнфорд, "глядач ототожнює себе зі страждаючим Богом, вмирає з його смертю і народжується знову разом з його відродженням". Піфагор розумів "пристрасне і співчутливе споглядання" як інтелектуальне споглядання, до якого ми вдаємося також в математичному пізнанні. Таким чином, завдяки піфагореїзму слово "теорія" поступово перетворю свою теперішню значення, але для всіх тих, хто був натхненний Піфагором, воно зберегло в собі елемент екстатичного одкровення. Це може здатися дивним для тих, хто трохи і вельми неохоче вивчав математику в школі, але тим, хто зазнав п'янким радість несподіваного розуміння, яку час від часу приносить математика тим, хто любить її, піфагорійський погляд здасться зовсім природним, навіть якщо він не відповідає істині. Легко може здатися, що емпіричний філософ - раб досліджуваного матеріалу, але чистий математик, як і музикант, - вільний творець власного світу впорядкованої краси.
Сучасні визначення істини, які даються, наприклад, прагматизмом або інструменталізмом - швидше практичними, ніж споглядальними навчаннями, - є продуктом індустріалізму в його протилежності аристократизму.
Так йде справа з поясненням двох сторін діяльності Піфагора: Піфагора як релігійного пророка і Піфагора як чистого математика. В обох відносинах його вплив незмірно, і ці дві сторони не були настільки самостійні, як це може представлятися сучасному свідомості.
При своєму виникненні більшість наук були пов'язана з деякими формами помилкових вірувань, які надавали наук фіктивну цінність. Астрономія була пов'язана з астрологією, хімія - з алхімією. Математика ж була пов'язана з більш витонченим типом помилок. Математичне знання здавалося певним, точним і застосовним до реального світу; більш того, здавалося, що це знання отримували, виходячи з чистого роздуми, не вдаючись до спостереження. Тому стали думати, що воно дає нам ідеал знання, в порівнянні з яким буденне емпіричне знання не має сенсу. На основі математики було зроблено припущення, що думка вище почуття, інтуїція вище спостереження. Якщо ж чуттєвий світ не вкладається в математичні рамки, то тим гірше для цього почуттєвого світу. І ось всілякими способами почали відшукувати методи дослідження, які мають найтісніший контакт математичного ідеалу. Отримані в результаті цього концепції стали джерелом багатьох помилкових поглядів в метафізиці і теорії пізнання. Ця форма філософії починається з Піфагора.
Як відомо, Піфагор говорив, що "всі речі суть числа". Якщо це положення витлумачити в сучасному дусі, то в логічному відношенні воно здається нісенітницею. Але те, що розумів під цим положенням Піфагор, - не зовсім нісенітниця. Піфагор відкрив, що число має велике значення в музиці; про встановлену їм зв'язку між музикою і математикою нагадують досі такі математичні вирази, як "гармонійне середнє" і "гармонійна прогресія". В його уяві числа, на зразок чисел на гральних кістках або картах, володіють формою. Ми все ще говоримо про квадратах і кубах чисел, і цими термінами ми зобов'язані Піфагору. Піфагор точно так же говорив про довгастих, трикутних, пірамідальних числах і т. Д. Це були числа жмень гальки (або, більш природно для нас, числа жмень дробу), необхідні для утворення форми. Піфагор, очевидно, вважав, що світ складається з атомів, що тіла побудовані з молекул, що складаються в свою чергу з атомів упорядкованих в різні форми. Таким чином, він сподівався зробити арифметику науковою основою у фізиці, так само як і в естетиці.
Положення, згідно з яким сума квадратів сторін прямокутного трикутника, прилеглих до прямого кута, дорівнює квадрату третьої сторони - гіпотенузи, було найбільшим відкриттям Піфагора або його безпосередніх учнів. Єгиптяни знали, що трикутник, сторони якого рівні 3, 4 або 5, є прямокутним, але, очевидно, греки першими помітили, що З2 + 42 = 52 і, виходячи з цього припущення, відкрили доказ загальної теореми.
На жаль для Піфагора, ця його теорема відразу ж привела до відкриття несумірності, а це явище спростовувало всю його філософію. У прямокутному трикутник квадрат гіпотенузи дорівнює подвоєному квадрату кожної зі сторін. Припустимо, що кожен катет дорівнює одному дюйму; яка в такому випадку довжина гіпотенузи? Припустимо, що її довжина дорівнює т / п дюймів. Тоді т2 / п2 = - 2. Якщо т і п мають загальний множник, розділимо їх на нього. В такому випадку принаймні чи т, або п має бути непарною. Але тепер врахуємо, що раз m2 = 2 n2, отже, m2 - парне і, отже, m - парне, a n - непарне. В такому випадку припустимо отже, припустимо, що m = 2р. Тоді 4p2 = 2n2; отже, n2 = 2p2, отже n - парне, що суперечить допущенню. Тому гіпотенузу не можна виміряти дробовим числом т / п. Це доказ є, по суті, доказом, що приводиться у Евкліда в книзі.
Це доказ говорить про те, що, яку б одиницю довжини ми не вибрали, існують відрізки, які не перебувають в точній числовому відношенні до цієї одиниці, тобто що немає таких двох цілих чисел тип, при яких розглянутий відрізок, взятий т раз, був б дорівнює одиниці довжини, взятої п раз. Це положення призвело грецьких математиків до думки, що геометрію слід розвивати незалежно від математики. Деякі місця в платонівських діалогах показують, що в його час була прийнята незалежна від арифметики трактування геометрії; цей принцип отримав своє завершення у Евкліда. У книзі II Евклід доводить геометрично багато з того, що для нас природніше було б доводити алгебраїчно, наприклад, що (а + b) 2 = а2 + 2ab + b2. Евклід вважав цей спосіб необхідним саме завдяки труднощам, пов'язаним з неспівмірністю величин. Те ж саме спостерігається і в тлумаченні Евклидом пропорції в книгах V і VI. Вся система Евкліда чудова в логічному відношенні, і вона передбачила математичну строгість висновків математиків XIX століття. Оскільки адекватної арифметичної теорії несумірних величин не існувало, метод Евкліда був найкращим з можливих в геометрії методів. Коли Декарт ввів координати в геометрію, знову повернувши тим самим арифметиці верховенство, він зробив припущення, що вирішення проблеми неспівмірності цілком можливо, хоча в його час таке рішення ще не було знайдено.
Вплив геометрії на філософію і науковий метод було глибоким. Геометрія в такому вигляді, в якому вона встановилася у греків, відправляється від аксіом, які є самоочевидними (або покладаються такими), і через дедуктивні міркування приходить до теорем, які дуже далекі від очевидності. При цьому стверджують, що аксіоми і теореми є істинними стосовно дійсного простору, яке є чимось даним в досвіді. Тому здається можливим, використовуючи дедукцію, здійснювати відкриття, пов'язані з дійсного світу, виходячи з того, що є самоочевидним. Подібна точка зору вплинула як на Платона і Канта, так і на багатьох інших філософів, що стояли між ними. Коли Декларація незалежності каже: "Ми стверджуємо, що ці істини самоочевидні", - вона слід зразком Евкліда. Поширена в XVIII столітті, доктрина про природні права людини є пошуком евклідових аксіом в області політики.
Форма ньютоновского твори "Почала", незважаючи на його загальновизнаний емпіричний матеріал, цілком визначається впливом Евкліда. Теологія в своїх найбільш точних схоластичних формах зобов'язана своїм стилем того ж джерела. Особиста релігія веде свій початок від екстазу, теологія - з математики; і те й інше можна знайти у Піфагора.
Я вважаю, що математика є головним джерелом віри у вічну і точну істину, як і в надчутливий інтелігібельний світ. Геометрія має справу з точними колами, але жоден чуттєвий об'єкт не є точно круглим; і як би ми ретельно не застосовували наш циркуль, окружності завжди будуть до певної міри недосконалими і неправильними. Це наштовхує на припущення, що будь-яке точне роздум має справу з ідеалом, що протистоїть чуттєвих об'єктів. Природно зробити ще один крок вперед і доводити, що думка шляхетніше почуття, а об'єкти думки більш реальні, ніж об'єкти чуттєвого сприйняття. Містичні доктрини щодо співвідношення часу і вічності також отримують підтримку від чистої математики, бо математичні об'єкти, наприклад числа (якщо вони взагалі реальні), є вічними і позачасові. А подібні вічні об'єкти можуть в свою чергу бути витлумачені як думки Бога. Звідси платонівська доктрина, згідно з якою Бог є геометром, а також уявлення сера Джеймса Джинса про те, що Бог віддається арифметичним занять. З часу Піфагора, а особливо Платона, раціоналістична релігія, що є протилежністю релігії одкровення, перебувала під повним впливом математики і математичного методу.