реферат парабола

Парабола (грец. Παραβολή - додаток) - геометричне місце точок, рівновіддалених від даної прямої (званої директоркою параболи) і даної точки (званої фокусом параболи).

Поряд з еліпсом і гіперболою, парабола є конічним перетином. Вона може бути визначена як конічний перетин з одиничним ексцентриситетом.

1. Рівняння

Канонічне рівняння параболи в прямокутній системі координат:

(Або, якщо поміняти місцями осі).

Рівняння директриси:, фокус -, таким чином початок координат - середина відрізка. За визначенням параболи для будь-якої точки, що лежить на ній виконується рівність. і, тоді рівність набуває вигляду:

Після зведення в квадрат і деяких перетворень виходить рівносильне рівняння.

Квадратне рівняння при також є параболу і графічно зображується тієї ж параболою, що і, але на відміну від останньої має вершину не на початку координат, а в деякій точці, координати якої обчислюються за формулами:

Рівняння може бути представлено у вигляді, а в разі перенесення початку координат в точку канонічним рівнянням. Таким чином для кожного квадратного рівняння можна знайти систему координат таку, що в цій системі воно видається канонічним.

1.1. Розрахунок коефіцієнтів квадратного рівняння

Якщо для рівняння відомі координати 3-х різних точок його графіка,,, то його коефіцієнти можуть бути знайдені так:

2. Властивості

  • Парабола - крива другого порядку.
  • Вона має вісь симетрії, званої віссю параболи. Ось проходить через фокус і перпендикулярна директрисі.
  • Оптичне властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись в параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що знаходиться у фокусі, відбивається параболою в пучок паралельних її осі променів.
  • Для параболи фокус знаходиться в точці (0,25; 0).
  • Якщо фокус параболи відобразити щодо дотичній, то його образ буде лежати на директрисі.
  • Парабола є антіподерой прямий.
  • Все параболи подібні. Відстань між фокусом і директоркою визначає масштаб.
  • При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить еліптичний параболоїд.

3. Побудова

Побудова параболи з допомогою циркуля і лінійки

Параболу, задану рівнянням y = ax 2 + bx + c. Будував за алгоритмом (через п'ять основних точок):

  1. визначити напрямок гілок параболи по знаку першого коефіцієнта a> 0 - гілки спрямовані вгору. якщо a <0. то ветви параболы направлены вниз;
  2. обчислити координати вершини параболи і y0 = y (x0);
  3. відзначити вершину параболи на координатній площині і через неї провести вісь симетрії параболи x = x0;
  4. знайти точку перетину параболи з віссю OY (0; c) і зазначити їй симетричну;
  5. вирішити квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0 і відзначити точки на осі OX: (x1; 0) (x2; 0);
  6. через зазначені п'ять точок провести параболу.

Параболу можна побудувати «по точках» за допомогою циркуля і лінійки, не знаючи рівняння і маючи в наявності тільки фокус і директрису. Вершина є серединою відрізка між фокусом і директоркою. На директрисі задається довільна система відліку з потрібним одиничним відрізком. Кожна наступна точка є перетином серединного перпендикуляра відрізка між фокусом і точкою директриси, що знаходиться на кратному одиничному відрізку відстані від початку відліку, і прямої, що проходить через цю точку і паралельної осі параболи.

4. Зв'язок з реальним світом

Траєкторії деяких космічних тіл (комет, астероїдів та інших), що проходять поблизу зірки або іншого масивного об'єкта (зірки або планети) на досить великій швидкості мають форму параболи (або гіперболи). Ці тіла внаслідок своєї великої швидкості не захоплюються гравітаційним полем зірки і продовжують вільний політ. Це явище використовується для гравітаційних маневрів космічних кораблів (зокрема апаратів Вояджер).

При відсутності опору повітря траєкторія польоту тіла в наближенні однорідного гравітаційного поля є параболу.

При обертанні посудини з рідиною навколо вертикальної осі поверхню рідини в посудині і вертикальна площину перетинаються по параболі.

Властивість параболи фокусувати пучок променів, паралельних осі параболи, використовується в конструкціях прожекторів, ліхтарів, фар, а також телескопів-рефлекторів (оптичних, інфрачервоних, радіо ...), в конструкції вузько (супутникових та інших) антен, необхідних для передачі даних на великі відстані , сонячних електростанцій і в інших областях.

Форма параболи іноді використовується в архітектурі для будівництва дахів і куполів.

Параболічна орбіта і рух супутника по ній (анімація)

Схожі статті