Деякі прості багатокутники
Простий багатокутник - це фігура, що складається з непересічних відрізків ( «сторін»), з'єднаних попарно з утворенням замкнутого шляху. Якщо сторони перетинаються, багатокутник не є простим. Часто слово «простий» опускається з вищенаведеного визначення.
Дане вище визначення забезпечує наступні властивості фігури:
- Багатокутник оточує область (звану начинкою), яка завжди має вимірну площа.
- Відрізки, що утворюють багатокутник (звані сторонами, рідше ребрами), перетинаються тільки в їх кінцевих точках, які називаються вершинами (або, менш формально, «кутами»).
- У кожній вершині сходяться в точності дві сторони.
- Число сторін завжди дорівнює числу вершин.
Звичайно потрібно, щоб дві сторони, сходяться в вершині, що не утворювали розгорнутий (180 °) кут. В іншому випадку лежать на одній прямій боку вважаються частиною одного боку.
Математики зазвичай використовують термін «багатокутник» тільки для фігур, утворених відрізками, не включаючи внутрішню область. Однак деякі використовують термін «багатокутник» для позначення плоскої фігури обмеженої замкнутим шляхом, що складається з кінцевої послідовності відрізків (тобто замкнутої ламаної). Залежно від використовуваного визначення межа може бути чи не бути частиною багатокутника [1].
Прості багатокутники називаються також Жорданова багатокутниками. оскільки може бути використана теорема Жордана для доказу, що такі багатокутники розбивають площину на дві області, всередині і зовні. Багатокутник на площині є простим тоді і тільки тоді, коли він топологічно еквівалентними окружності. Його нутро топологічно еквавалентна колі.
Слабо простий багатокутник
Якщо набір непересічних відрізків утворює кордон області на площині, топологічно еквівалентну колі, то ця межа називається слабо простим многоугольником [2]. На малюнку зліва ABCDEFGHJKLM є слабо простим многоугольником згідно з визначенням. Синім кольором відображена область, для якої слабо простий багатокутник є кордоном. Цей тип слабо простих багатокутників може виникнути в комп'ютерній графіці і в системах CAD в якості комп'ютерного уявлення багатокутних областей з порожнинами - для кожної порожнини створюється «розріз» для з'єднання з зовнішнім кордоном. Згідно малюнку ABCM є зовнішнім кордоном плоскою області з порожниною FGHJ. Розріз ED з'єднує порожнину із зовнішнім контуром і проходиться двічі в поданні слабо простого багатокутника.
Альтернативне і більш загальне визначення слабких простих багатокутників - межа послідовності простих багатокутників одного і того ж комбінаторного типу, які сходяться по відстані Фреше [3]. Це формалізує ідею, що елементам багатокутника дозволено дотик, але не перетин. Однак цей тип слабо простих багатокутників не обов'язково утворює кордон області, так як «начинка» може бути порожньою. Наприклад, на малюнку ланцюжку ABCBA є слабо простим многоугольником - його можна розглядати як межа «вичавлювання» багатокутника ABCFGHA.