Приклад рішення задачі "прямий поперечний вигин" №1
Умова прикладу завдання на прямий поперечний вигин
Для консольної балки, навантаженої розподіленим навантаженням інтенсивністю кН / м і зосередженим моментом кН · м (рис. 3.12), потрібно: побудувати епюри перерізують сил і згинальних моментів, підібрати балку круглого поперечного перерізу при дозволяється нормальній напрузі кН / см2 і перевірити міцність балки по дотичним напруженням при дозволяється дотичному напруженні кН / см2. Розміри балки м; м; м.
Розрахункова схема для задачі на прямий поперечний вигин
Рішення завдання "прямий поперечний вигин"
Визначаємо опорні реакції
Горизонтальна реакція в закладенні дорівнює нулю, оскільки зовнішні навантаження в напрямку осі z на балку не діють.
Вибираємо напрямки інших реактивних зусиль, що виникають в закладенні: вертикальну реакцію направимо, наприклад, вниз, а момент - по ходу годинникової стрілки. Їх значення визначаємо з рівнянь статики:
Складаючи ці рівняння, вважаємо момент позитивним при обертанні проти годинникової стрілки, а проекцію сили позитивної, якщо її напрямок збігається з позитивним напрямком осі y.
З першого рівняння знаходимо момент в закладенні:
З другого рівняння - вертикальну реакцію:
Отримані нами позитивні значення для моменту і вертикальної реакції в закладенні свідчать про те, що ми вгадали їх напрямки.
Будуємо епюри перерізують сил і згинальних моментів
Відповідно до характером закріплення і навантаження балки, розбиваємо її довжину на дві ділянки. По межах кожного з цих ділянок визначимо чотири поперечних перетину (див. Рис. 3.12), в яких ми і будемо методом перетинів (троянду) обчислювати значення перерізують сил і згинальних моментів.
Перетин 1. Відкинемо подумки праву частину балки. Замінимо її дію на решту ліву частину перерізують силою і изгибающим моментом. Для зручності обчислення їх значень закриємо відкинуту нами праву частину балки листком паперу, поєднуючи лівий край листка з даним перерізом.
Нагадаємо, що перерізуюча сила, що виникає в будь-якому поперечному перерізі, повинна врівноважити всі зовнішні сили (активні і реактивні), які діють на розглянуту (тобто видиму) нами частина балки. Тому перерізуюча сила повинна бути дорівнює алгебраїчній сумі всіх сил, які ми бачимо.
Наведемо і правило знаків для перерізують сили: зовнішня сила, що діє на дану частину балки і прагне «повернути» цю частину щодо перетину по ходу годинникової стрілки, викликає в перерізі позитивну перерізують силу. Така зовнішня сила входить в алгебраїчну суму для визначення зі знаком «плюс».
У нашому випадку ми бачимо лише реакцію опори, яка обертає видиму нами частина балки щодо першого перетину (щодо краю листка паперу) проти годинникової стрілки. Тому
Згинальний момент в будь-якому перетині повинен врівноважити момент, створюваний видимими нами зовнішніми зусиллями, щодо розглянутого перетину. Отже, він дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх зусиль, які діють на розглянуту нами частина балки, щодо розглянутого перетину (іншими словами, щодо краю листка паперу). При цьому зовнішнє навантаження, згинатися дану частину балки опуклістю вниз, викликає в перерізі позитивний момент, що вигинає. І момент, створюваний таким навантаженням, входить в алгебраїчну суму для визначення зі знаком «плюс».
Ми бачимо два зусилля: реакцію і момент в закладенні. Однак у сили плече щодо перетину 1 дорівнює нулю. Тому
Знак «плюс» нами взято тому, що реактивний момент згинає видиму нами частина балки опуклістю вниз.
Нагадаємо, що при визначенні знака згинального моменту ми подумки звільняємо видиму нами частина балки від всіх фактичних опорних закріплень і представляємо її як би затисненої в перерізі (тобто лівий край листка паперу нами подумки представляється жорсткою закладенням).
Перетин 2. Як і раніше будемо закривати листком паперу всю праву частину балки. Тепер, на відміну від першого перетину, у сили з'явилося плече: м. Тому
Перетин 3. Закриваючи праву частину балки, знайдемо
Перетин 4. Закриємо листком ліву частину балки. тоді
Перетин 5. Як і раніше закриємо ліву частину балки. матимемо
Перетин 6. Знову закриємо ліву частину балки. отримаємо
За знайденим значенням будуємо епюри перерізують сил (рис. 3.12, б) і згинальних моментів (рис. 3.12, в).
Під незавантаженими ділянками епюра перерізують сил йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q - по похилій прямій вгору. Під опорної реакцією на епюрі є стрибок вниз на величину цієї реакції, тобто на 40 кН.
На епюрі згинальних моментів ми бачимо злам під опорною реакцією. Кут зламу спрямований назустріч реакції опори. Під розподіленим навантаженням q епюра змінюється по квадратичної параболи, опуклість якої спрямована назустріч навантаженні. У перетині 6 на епюрі - екстремум, оскільки епюра перерізують сили в цьому місці проходить тут через нульове значення.
Визначаємо необхідний діаметр поперечного перерізу балки
Умова міцності по нормальним напруженням має вигляд:
де - момент опору балки при вигині. Для балки круглого поперечного перерізу він дорівнює:
Найбільший за абсолютним значенням згинальний момент виникає в третьому перетині балки: кН · см.
Тоді необхідний діаметр балки визначається за формулою
Приймаємо мм. тоді
Перевіряємо міцність балки по найбільшим дотичним напруженням
Найбільші дотичні напруження, що виникають в поперечному перерізі балки круглого перетину, обчислюються за формулою
де - площа поперечного перерізу.
Згідно епюрі, найбільше з алгебраїчної величиною значення перерізують сили одно кН. тоді
тобто умова міцності і по дотичним напруженням виконується, причому, з великим запасом.
Приклад рішення задачі "прямий поперечний вигин" №2
Умова прикладу завдання на прямий поперечний вигин
Для шарнірно опертої балки, навантаженої розподіленим навантаженням інтенсивністю кН / м, зосередженої силою кН і зосередженим моментом кН · м (рис. 3.13), потрібно побудувати епюри перерізують сил і згинальних моментів і підібрати балку двотаврового поперечного перерізу при дозволяється нормальній напрузі кН / см2 і дозволяється за дотичному напруженні кН / см2. Проліт балки м.
Приклад завдання на прямий вигин - розрахункова схема
Рішення прикладу завдання на прямий вигин
Визначаємо опорні реакції
Для заданої шарнірно опертої балки необхідно знайти три опорні реакції:, і. Оскільки на балку діють тільки вертикальні навантаження, перпендикулярні до її осі, горизонтальна реакція нерухомої шарнірної опори A дорівнює нулю:.
Напрямки вертикальних реакцій і вибираємо довільно. Направимо, наприклад, обидві вертикальні реакції вгору. Для обчислення їх значень складемо два рівняння статики:
Нагадаємо, що рівнодіюча погонного навантаження, рівномірно розподіленим на ділянці довжиною l, дорівнює, тобто дорівнює площі епюри цього навантаження і прикладена вона в центрі ваги цієї епюри, тобто посередині довжини.
Нагадаємо, що сили, напрямок яких збігається з позитивним напрямком осі y, проектуються (проектуються) на цю вісь зі знаком плюс:
Будуємо епюри перерізують сил і згинальних моментів
Розбиваємо довжину балки на окремі ділянки. Межами цих ділянок є точки прикладання зосереджених зусиль (активних і / або реактивних), а також точки, що відповідають початку і закінчення дії розподіленого навантаження. Таких ділянок у нашій задачі виходить три. По межах цих ділянок визначимо шість поперечних перерізів, в яких ми і будемо обчислювати значення перерізують сил і згинальних моментів (рис. 3.13, а).
Перетин 1. Відкинемо подумки праву частину балки. Для зручності обчислення перерізують сили і згинального моменту, що виникають в цьому перерізі, закриємо відкинуту нами частина балки листком паперу, поєднуючи лівий край листка паперу з самим перетином.
Перерізуюча сила в перерізі балки дорівнює алгебраїчній сумі всіх зовнішніх сил (активних і реактивних), які ми бачимо. В даному випадку ми бачимо реакцію опори і погонну навантаження q, розподілену на нескінченно малій довжині. Рівнодіюча погонного навантаження дорівнює нулю. Тому
Знак «плюс» узятий тому, що сила обертає видиму нами частина балки щодо першого перетину (краю листка паперу) по ходу годинникової стрілки.
Згинальний момент в перерізі балки дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх зусиль, які ми бачимо, щодо розглянутого перетину (тобто щодо краю листка паперу). Ми бачимо реакцію опори і погонну навантаження q, розподілену на нескінченно малій довжині. Однак у сили плече дорівнює нулю. Рівнодіюча погонного навантаження також дорівнює нулю. Тому
Перетин 2. Як і раніше будемо закривати листком паперу всю праву частину балки. Тепер ми бачимо реакцію і навантаження q, що діє на ділянці довжиною. Рівнодіюча погонного навантаження дорівнює. Вона прикладена посередині ділянки довжиною. Тому
Нагадаємо, що при визначенні знака згинального моменту ми подумки звільняємо видиму нами частина балки від всіх фактичних опорних закріплень і представляємо її як би затисненої в перерізі (тобто лівий край листка паперу нами подумки представляється жорсткою закладенням).
Перетин 3. Закриємо праву частину. отримаємо
Перетин 4. Закриваємо листком праву частину балки. тоді
Тепер, для контролю правильності обчислень, закриємо листком паперу ліву частину балки. Ми бачимо зосереджену силу P, реакцію правої опори і погонну навантаження q, розподілену на нескінченно малій довжині. Рівнодіюча погонного навантаження дорівнює нулю. Тому
Тобто все вірно.
Перетин 5. Як і раніше закриємо ліву частину балки. матимемо
Перетин 6. Знову закриємо ліву частину балки. отримаємо
За знайденим значенням будуємо епюри перерізують сил (рис. 3.13, б) і згинальних моментів (рис. 3.13, в).
Переконуємося в тому, що під незавантажені ділянкою епюра перерізують сил йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q - по прямій, що має нахил вниз. На епюрі є три стрибка: під реакцією - вгору на 37,5 кН, під реакцією - вгору на 132,5 кН і під силою P - вниз на 50 кН.
На епюрі згинальних моментів ми бачимо злами під зосередженою силою P і під опорними реакціями. Кути зламів спрямовані назустріч цим силам. Під розподіленим навантаженням інтенсивністю q епюра змінюється по квадратичної параболи, опуклість якої спрямована назустріч навантаженні. Під зосередженим моментом - стрибок на 60 кН · м, тобто на величину самого моменту. У перетині 7 на епюрі - екстремум, оскільки епюра перерізують сили для цього перерізу проходить через нульове значення (). Визначимо відстань від перетину 7 до лівої опори.
Екстремальне значення згинального моменту в перерізі 7 одно:
Визначаємо необхідний момент опору балки з умови міцності за нормальними напруженням
Згідно епюрі, максимальний з алгебраїчної величиною згинальний момент виникає в третьому поперечному перерізі балки: кН · см. тоді
По сортаменту (див. Дод. 1, табл. П1.3) підбираємо двотавр № 30а, має см3.
Перевіряємо міцність балки по найбільшим дотичним напруженням
Найбільші дотичні напруження, що виникають в поперечному перерізі двотаврової балки, обчислюються за формулою
По сортаменту для обраного нами двотавру визначаємо, що статичний момент половини перерізу відносно нейтральної осі см3, момент інерції відносно нейтральної осі см4, а товщина стінки см.
Згідно епюрі, найбільше з алгебраїчної величиною значення перерізують сили кН. тоді
тобто умова міцності по дотичним напруженням виконується.
Варіанти завдань по темі "прямий поперечний вигин" для самостійного рішення
Умова завдання на прямий вигин для самостійного рішення
Для двох заданих схем балок (рис. 3.11) потрібно:
1. побудувати епюри перерізують сил і згинальних моментів;
2. підібрати з умови міцності за нормальними напруженням (кН / см2) балку круглого поперечного перерізу для схеми a і балку двотаврового поперечного перерізу для схеми б;
3. перевірити міцність підібраних балок по дотичним напруженням (кН / см2).