Завдання. Точки А (2,1), В (1, -2), С (-1,0) є вершинами трикутника АВС.
а) Знайти рівняння сторін трикутника АВС.
б) Знайти рівняння однієї з медіан трикутника АВС.
в) Знайти рівняння однієї з висот трикутника АВС.
г) Знайти рівняння однієї з биссектрис трикутника АВС.
д) Знайти площу трикутника АВС.
Рішення проводимо за допомогою калькулятора.
Дано координати трикутника: A (2,1), B (1, -2), C (-1,0).
1) Координати векторів
Координати векторів знаходимо за формулою:
X = xj - xi; Y = yj - yi
тут X, Y координати вектора; xi. yi - координати точки А i; xj. yj - координати точки Аj
Наприклад, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB (-1; -3)
AC (-3; -1)
BC (-2; 2)
2) Модулі векторів
Довжина вектора a (X; Y) виражається через його координати формулою:
3) Кут між прямими
Кут між векторами a1 (X1; Y1), a2 (X2; Y2) можна знайти за формулою:
де a1 a2 = X1 X2 + Y1 Y2
Знайдемо кут між сторонами AB і AC
# 947; = Arccos (0.6) = 53.13 0
4) Проекція вектора
Проекцію вектора b на вектор a можна знайти за формулою:
Знайдемо проекцію вектора AB на вектор AC
5) Площа трикутника
Нехай точки A1 (x1; y1), A2 (x2; y2), A3 (x3; y3) - вершини трикутника, тоді його площа виражається формулою:
У правій частині стоїть визначник другого порядку. Площа трикутника завжди позитивна.
Рішення. Беручи A за першу вершину, знаходимо:
За формулою отримуємо:
6) Розподіл відрізка в даному відношенні
Радіус-вектор r точки A, який ділив відрізок AB у відношенні AA: AB = m1: m2. визначається формулою:
Координати точки А знаходяться за формулами:
Рівняння медіани трикутника
Позначимо середину боку BC буквою М. Тоді координати точки M знайдемо за формулами ділення відрізка навпіл.
M (0; -1)
Рівняння медіани AM знайдемо, використовуючи формулу для рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Медіана AМ проходить через точки A (2; 1) і М (0; -1), тому:
або
або
y = x -1 або y -x +1 = 0
7) Рівняння прямої
Пряма, що проходить через точки A1 (x1; y1) і A2 (x2; y2), представляється рівняннями:
Рівняння прямої AB
або
або
y = 3x -5 або y -3x +5 = 0
Рівняння прямої AC
або
або
y = 1/3 x + 1/3 або 3y -x - 1 = 0
Рівняння прямої BC
або
або
y = -x -1 або y + x +1 = 0
8) Довжина висоти трикутника, проведеної з вершини A
Відстань d від точки M1 (x1; y1) до прямої Ax + By + С = 0 дорівнює абсолютному значенню величини:
Знайдемо відстань між точкою A (2; 1) і прямий BC (y + x +1 = 0)
9) Рівняння висоти через вершину C
Пряма, що проходить через точку M0 (x0; y0) і перпендикулярна прямий Ax + By + C = 0 має направляючий вектор (A; B) і, отже, представляється рівняннями:
Дане рівняння можна знайти і в інший спосіб. Для цього знайдемо кутовий коефіцієнт k1 прямий AB.
Рівняння AB: y = 3x -5, тобто k1 = 3
Знайдемо кутовий коефіцієнт k перпендикуляра з умови перпендикулярності двох прямих: k1 * k = -1.
Підставляючи замість k1 кутовий коефіцієнт даної прямої, отримаємо.
3k = -1, звідки k = -1 / 3
Так як перпендикуляр проходить через точку C (-1,0) і має k = -1 / 3, то будемо шукати його рівняння у вигляді: y-y0 = k (x-x0).
Підставляючи x0 = -1, k = -1 / 3. y0 = 0 отримаємо:
y-0 = -1 / 3 (x - (- 1))
або
y = -1 / 3 x - 1/3
Рівняння бісектриси трикутника
Знайдемо бісектрису кута A. Точку перетину бісектриси зі стороною BC позначимо М.
Скористаємося формулою:
Рівняння AB: y -3x +5 = 0, рівняння AC: 3y -x - 1 = 0
^ A ≈ 53 0
Бісектриса ділить кут навпіл, отже кут NAK ≈ 26.5 0
Тангенс кута нахилу AB дорівнює 3 (тому що y -3x +5 = 0). Кут нахилу дорівнює 72
^ NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26.5 0) ≈ 45.5 0
tg (45.5 0) = 1
Бісектриса проходить через точку A (2,1), використовуючи формулу, маємо:
y - y0 = k (x - x0)
y - 1 = 1 (x - 2)
або
y = x -1
Завантажити: xml
Приклад. Дано координати вершин трикутника АВС: А (-3; -1), В (4; 6), С (8; -2).
Потрібно: 1) обчислити довжину сторони ВС; 2) скласти рівняння сторони ВС; 3) знайти внутрішній кут трикутника при вершині В; 4) скласти рівняння висоти АК, проведеної з вершини А; 5) знайти координати центру ваги однорідного трикутника (точки перетину його медіан); 6) зробити креслення в системі координат.
- скласти рівняння медіани, проведеної з вершини B, і обчислити її довжину.
- скласти рівняння висоти, проведеної з вершини A, і обчислити її довжину.
- знайти косинус внутрішнього кута B трикутника ABC.
Приклад №3. Дано вершини A (1; 1), B (7, 4), C (4; 5) трикутника. Знайти: 1) довжину сторони AB; 2) внутрішній кут A в радіанах з точністю до 0,001. Зробити креслення.
завантажити
Приклад №4. Дано вершини A (1; 1), B (7, 4), C (4; 5) трикутника. Знайти: 1) рівняння висоти, проведеної через вершину C; 2) рівняння медіани, проведеної через вершину C; 3) точку перетину висот трикутника; 4) довжину висоти, опущеної з вершини C. Зробити креслення.
завантажити
Приклад №5. Дано вершини трикутника ABC: A (-5; 0), B (7; -9), C (11; 13). Визначте: 1) довжину сторони AB; 2) рівняння сторін AB і AC і їх кутові коефіцієнти; 3) площа трикутника.
Рішення.
Координати векторів знаходимо за формулою:
X = xj - xi; Y = yj - yi
тут X, Y координати вектора; xi. yi - координати точки А i; xj. yj - координати точки Аj
Наприклад, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 7 - (- 5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB (12; -9), AC (16; 13), BC (4; 22).
Довжина сторін трикутника
Довжина вектора a (X; Y) виражається через його координати формулою:
Площа трикутника
Нехай точки A1 (x1; y1), A2 (x2; y2), A3 (x3; y3) - вершини трикутника, тоді його площа виражається формулою:
У правій частині стоїть визначник другого порядку. Площа трикутника завжди позитивна.
Рішення. Беручи A за першу вершину, знаходимо:
За формулою отримуємо:
рівняння прямої
Пряма, що проходить через точки A1 (x1; y1) і A2 (x2; y2), представляється рівняннями:
Рівняння прямої AB
Канонічне рівняння прямої:
або
або
y = -3 / 4 x -15 / 4 або 4y + 3x + 15 = 0
Кутовий коефіцієнт прямої AB дорівнює k = -3 / 4
Рівняння прямої AC
або
або
y = 13/16 x + 65/16 або 16y -13x - 65 = 0
Кутовий коефіцієнт прямої AB дорівнює k = 13/16