1 °. . Коріння характеристичного рівняння: l1, 2, 3 = 1..
Власні вектори А по # 955; = 1, тобто ядро А1:
Образ оператора А1М (А1) знаходимо з співвідношень:
Тоді: базисом буде вектор; вектором, що доповнює базис до базису буде будь-який з векторів. наприклад вектор; а базис доповнити до базису нічим, тому що .
До речі: система А1у = (1, 0, 0) рішень не має, тобто прообразу другого шару для вектора (1, 2, -1) немає.
Отже, Жорданія базис оператора А..
І, звичайно, маємо жорданову форму матриці оператора А..
2 °. Знайти нормальну жорданову форму матриці лінійного оператора А = і базис, в якому матриця оператора має жорданову форму.
# 916 ;. Для матриці лінійного оператора А = складемо і вирішимо характеристичне рівняння: det (A - lE) = 0.
Тоді: = 0 і, отже, l1, 2 = -1; l3, 4 = 1.
a) Розглянемо оператор А-1 = А -lE = А + E =. Шукаємо власні вектори оператора А при l = - 1, т. Е. Ядро оператора А-1. Для цього вирішимо систему чотирьох лінійних однорідних рівнянь з матрицею А-1. З третього і четвертого рівнянь системи видно, що. Тоді можна легко встановити, що. Вектор f1 (1, 1, 0, 0) - єдиний власний вектор оператора А. відповідний своїм значенням l = -1 і утворює базис ядра оператора А-1. Далі шукаємо базис образу оператора А-1:
Відзначивши, що вектори f1 і збігаються, робимо висновок про те, що цей вектор утворює базис перетину образу і ядра оператора А-1.
кратність кореня # 955; = -1 дорівнює двом, а власний вектор, що відповідає цьому власному значенню, тільки один. Тому, вважаємо g1 рівним вектору. а ще один вектор Жорданова базису шукаємо, як прообраз першого шару для. Вирішуємо неоднорідну систему лінійних рівнянь і знаходимо другий вектор g2 (1, 3/4, 0, 0) Жорданова базису, відповідного власного значення l = -1 кратності два. При цьому, що характерно, у вектора немає прообразу другого шару, бо система з розширеною матрицею
рішень не має. Це і не випадково, тому що своїм значенням l = -1 кратності 2 повинно відповідає два вектора Жорданова базису оператора А:
При цьому відзначимо, що:
б) Тепер розглянемо власне значення l = 1 і, відповідно, оператор А1 = А + Е:
Знайдемо ядро цього оператора, тобто власні вектори оператора А при # 955; = 1.
Вектор f1 (1, 1, 1, 1) утворює базис ядра оператора А1 і є єдиним власним вектором оператора А. відповідає власному значенню l = 1.
Так як власний вектор тільки один, а власне значення має кратність 2, потрібно знайти ще один вектор Жорданова базису. Тому вважаємо g3 рівним вектору y1 (1, 1, 1, 1), а ще один вектор Жорданова базису шукаємо як прообраз першого шару для y1 (1, 1, 1, 1). Для цього вирішуємо неоднорідну систему лінійних рівнянь A1g4 = j1 і знаходимо вектор g4 (0, 1/2, 0, 1/2) Жорданова базису, відповідного власного значення l = 1 кратності два. При цьому у вектора y1 (1, 1, 1, 1) немає прообразу другого шару, бо система A1y = g4 з розширеною матрицею рішень не має. І знову це не випадково, тому що своїм значенням l = 1 кратності 2 повинно відповідати два вектора Жорданова базису, а вони вже знайдені:
# 916; a) Розглянемо оператор А1. А1 -E =. Шукаємо власні вектори оператора А при l = 1, тобто ядро оператора А1.
Далі шукаємо базис.
Так як вектори f1. f2. f3. f4 - лінійно незалежні, то. а вектори доповнюють базис до базису - вектори:
кратність кореня # 955; = 1 дорівнює двом, тому маємо вже два вектора Жорданова базису А:
б) Розглянемо оператор А2 = А -2е. . і знайдемо ядро оператора А2 тобто власні вектора А при # 955; = 2.. Вектор f1 (0, 0, -2, 1), що є вирішенням цієї системи є одночасно і базисом ядра.
Тоді, вектор (0, 0, -2, 1) це вектор Жорданова базису, а другий вектор - прообраз вектора (0, 0, -2, 1), якщо він є. Система для його знаходження: А2у = (0, 0, -2, 1).
Вирішуємо систему А2у = (0, 0, -2, 1), для знаходження прообразу 1 -го шару вектора (0, 0, -2, 1) Отримуємо:.
Рішенням системи є, наприклад, вектор (1, -1, 0, 0).
Для оператора А знайдений Жорданія базис:.
При цьому тобто жорданова форма оператора А.. ▲.