Презентація на тему: "Тема: Теорія похибок. Під похибкою розуміється деяка величина, що характеризує точність результату. Виділяють три види похибок: 1. Фатальна." - Транскрипт:
1 Тема: Теорія похибок
2 Під похибкою розуміється деяка величина, що характеризує точність результату. Виділяють три види похибок: 1. Фатальна помилка - ця похибка пов'язана з помилками в вихідної інформації. Причинами цих помилок можуть бути, наприклад, неточність вимірювань, неможливість представлення деякої величини кінцевої дробом. 2. Похибка методу пов'язана з тим, що точні оператори і вихідні дані замінюються наближеними. Наприклад, замінюють інтеграл сумою, похідну - різницею, функцію - многочленом або будують нескінченний ітераційний процес, який обривають після кінцевого числа ітерацій. 3. Похибка обчислень виникає при округленні проміжних і кінцевих результатів. 2
3 Нехай - точне значення величини, а - її наближене значення. Абсолютною похибкою числа називається найменша величина, яка задовольнить умові, тобто точне значення величини лежить в інтервалі. Відносною похибкою називається величина, яка задовольнить умові або. Відносну похибку часто висловлюють у відсотках. Для цього необхідно величину помножити на 100%. 3
4 4 Значущими цифрами числа називаються всі цифри в його запису, починаючи з першої ненульовий зліва, наприклад: 1) - все цифри значущі; 2) - значущі тільки; перші три нуля незначні, тому що вони служать допоміжної мети - визначення положення цифр, тому може бути прийнята запис; 3) і. У першому записі все сім цифр (і останні чотири нуля) значущі, в другій - значущі тільки. Вірні значущі цифри. Значуща цифра називається вірною, якщо абсолютна похибка числа не перевищує одиниці розряду, що відповідає цій цифрі.
5 Приклад 1. Нехай і відомо, що. Визначити число вірних значущих цифр у числа. Маємо:; і. Значить, у числа вірні знаки а й - сумнівні. Приклад 2. Визначити число вірних значущих цифр у числа. Нехай і. Так як, то у числа три знака після коми вірні. 5
6 При записи чисел керуються наступним правилом: все значущі цифри повинні бути вірними. Тому округлення чисел, записаних в десятковій системі, проводиться за правилом першої відкидаємо цифри: якщо перша з відкинутих цифр менше 5, то залишаються десяткові знаки зберігаються без зміни; якщо перша з відкинутих цифр більше 5, то остання оставляемая цифра збільшується на одиницю; якщо перша з відкинутих цифр дорівнює 5, а за нею йдуть не нулі, то остання оставляемая цифра збільшується на одиницю; якщо перша з відкинутих цифр дорівнює 5 і все значущі цифри, що йдуть за нею, - нулі, то остання оставляемая цифра збільшується на одиницю, якщо вона непарна, і залишається без зміни, якщо - парна. Приклади. Округлити числа: 1) 1,25371,25, m = 3 - кількість вірних значущих цифр; 2) 1,25631,26, m = 3; 3) 2,365662,37, m = 3; 4) 2,6652,66, m = 3, 6-парна; 2,6352,64, m = 3, 3-непарна. 6
7 Оцінити похибка обчислення значень функції по заданій похибки аргументів. Нехай - безперервно диференціюється функція, де; - наближені значення аргументів,; - абсолютні похибки аргументів. Тоді абсолютна похибка обчислення значення функції в точці дорівнює (1.1) Відносна похибка значення в точці дорівнює (1.2) 7
8 Похибка суми. Абсолютна похибка алгебраїчної суми наближених чисел дорівнює сумі абсолютних похибок цих чисел. Нехай, тоді (1.3) Похибка різниці. Абсолютна похибка різниці наближених чисел дорівнює сумі абсолютних похибок зменшуваного і від'ємника. Нехай, тоді (1.4) Похибка твори. Нехай, відомі і. тоді абсолютна похибка твори обчислюється за формулою (1.5) 8
9 Похибка приватного. Нехай. Очевидно, що (1.6) З формул (1.3) - (1.6) виводяться формули для відповідних відносних похибок. 9
10 а) Записати порядок виконуваних операцій, оцінити похибки їх результатів, обчислити і оцінити похибку шуканого значення. б) Визначити число вірних знаків в результаті. Рішення. а) наближені значення вихідних даних. Абсолютні похибки вихідних даних. Відносні похибки вихідних даних: 10
11 Порядок виконуваних операцій: 11
12 б) Для визначення числа вірних знаків скористаємося визначенням і оцінкою (1.1) для абсолютної похибки функції. Таким чином, За визначенням числа вірних знаків, Відповідь: число вірних знаків і 12
13 Необхідно визначити допустиму похибку аргументів по допустимої похибки функції. Для функції однієї змінної абсолютну похибку можна наближено обчислити за формулою Для функції декількох змінних. якщо значення всіх аргументів можна однаково легко визначити з будь-якою точністю, то застосовують принцип рівних впливів, тобто вважають, що всі складові, рівні між собою. Тоді абсолютні похибки всіх аргументів визначаються формулою 13
14 З'ясувати похибка завдання вихідних даних, необхідну для отримання результату з вірними значущими цифрами. Рішення. Знаходимо (вважаємо перші цифр вірними). Згідно з визначенням поверніться знака, абсолютна похибка 14
15 Виходимо з того, що Для використання принципу рівних впливів вважаємо, що всі складові, рівні між собою. Тоді абсолютні похибки всіх аргументів визначаються формулою: Знаходимо 15
16 Тема: Похибка 1. Визначити, яке рівність точніше. 2. Округлити сумнівні цифри числа, залишивши вірні знаки. 3. Знайти абсолютні і відносні похибки чисел, якщо вони мають тільки вірні цифри. 4. а) Записати порядок виконуваних операцій, оцінити похибки їх результатів, обчислити і оцінити похибку шуканого значення (пряме завдання). б) Визначити число вірних знаків в результаті. 5. З'ясувати похибка завдання вихідних даних, необхідну для отримання результату з вірними значущими цифрами (зворотна задача). 16