6 Елементи теорії похибок

6 .1.1. Точні і наближені числа

6.1 .2. Абсолютна і відносна похибка

6.1.3. Тестові завдання по темі «Елементи теорії похибок»

6.1.1. Точні і наближені числа

Точність числа, як правило, не викликає сумнівів, коли мова йде про цілі значеннях даних (2 олівця, 100 дерев). Однак, в більшості випадків, коли точне значення числа вказати неможливо (наприклад, при вимірюванні предмета лінійкою, зняття результатів з приладу і т.п.), ми маємо справу з наближеними даними.

Наближеним значенням називається число, незначно відрізняється від точного значення і заміняє його в обчисленнях. Ступінь відмінності наближеного значення числа від його точного значення характеризується похибкою.

Розрізняють такі основні джерела похибок:

  1. ^ Похибки постановки завдання. що виникають в результаті наближеного опису реального явища в термінах математики.

  2. Похибки методу. пов'язані з труднощами або неможливістю вирішення поставленого завдання і заміною її подібною, такий, щоб можна було застосувати відомий і доступний метод вирішення і отримати результат, близький до шуканого.

  3. ^ Неусувні похибки. пов'язані з наближеними значеннями вихідних даних і обумовлені виконанням обчислень над наближеними числами.

  4. Похибки округлення. пов'язані з округленням значень вихідних даних, проміжних і кінцевих результатів, одержуваних з застосуванням обчислювальних засобів.

6.1.2. Абсолютна і відносна похибка

Облік похибок є важливим аспектом застосування чисельних методів, оскільки похибка кінцевого результату рішення всієї задачі є продуктом взаємодії всіх видів похибок. Тому одним з основних завдань теорії похибок є оцінка точності результату на підставі точності вихідних даних.

Якщо - точне число і - його наближене значення, то похибкою (помилкою) наближеного значення є ступінь близькості його значення до його точного значення.

Найпростішою кількісною мірою похибки є абсолютна похибка, яка визначається як
(6.1.2-1)
Як видно з формули 6.1.2-1, абсолютна похибка має ті ж одиниці вимірювання, що і величина. Тому за величиною абсолютної похибки далеко не завжди можна зробити правильний висновок про якість наближення. Наприклад, якщо, а мова йде про деталі верстата, то вимірювання є дуже грубими, а якщо про розмір судна, то - дуже точними. У зв'язку з цим введено поняття відносної похибки, в якому значення абсолютної похибки віднесено до модуля наближеного значення ().
(6.1.2-2)

Використання відносних похибок зручно, зокрема, тим, що вони не залежать від масштабів величин і одиниць вимірювань даних. Відносна похибка вимірюється в частках або відсотках. Так, наприклад, якщо
, а, то, а якщо і,
то тоді.
Щоб чисельно оцінити похибка функції, потрібно знати основні правила підрахунку похибки дій:

  • при додаванні і відніманні чисел абсолютні похибки чисел складаються

  • при множенні і діленні чисел друг на друга складаються їх відносні похибки


  • при зведенні в ступінь наближеного числа його відносна похибка збільшується на показник ступеня


Приклад 6.1.2-1. Дана функція:. Знайти абсолютну і відносну похибки величини (похибка результату виконання арифметичних операцій), якщо значення відомі, а 1 - точне число і його похибка дорівнює нулю.

Визначивши, таким чином, значення відносної похибки, можна знайти значення абсолютної похибки, як, де величина обчислюється за формулою при наближених значеннях

Оскільки точне значення величини зазвичай невідомо, то обчислення і за наведеними вище формулами неможливо. Тому на практиці проводять оцінку граничних похибок виду:
(6.1.2-3)
де і - відомі величини, які є верхніми межами абсолютної і відносної похибок, інакше їх називають - гранична абсолютна і гранична відносна похибки. Таким чином, точне значення лежить в межах:

і
чи

Е
кщо величина відома, то, а якщо відома величина, то

П редельная абсолютна похибка функції виду, що диференціюється в заданій області, при відомих значеннях аргументів, а також при відомих граничних абсолютних погрішності аргументів, обчислюється за формулою:
(6.1.2-4)

а, відповідно, гранична відносна похибка функції
(6.1.2-5)
В окремому випадку для функції від однієї змінної (при m = 1):

П ример 6.1 .2-2. Оцінити абсолютну та відносну похибки наближеного числа.

Число - трансцендентне число, видається нескінченною неперіодичної дробом.

Наближене значення числа.

Кордон абсолютної похибки, відносна похибка числа
Приклад 6.1.2-3. Визначити значущі цифри числа.

Значущими цифрами числа називають усі цифри в його запису, починаючи з першої ненульовий зліва. Значущу цифру числа називають вірною, якщо абсолютна похибка числа не перевищує одиниці розряду, що відповідає цій цифрі.

Значущі цифри чисел підкреслені:
Приклад 6.1.2-4. Визначити вірні цифри чіслаі підкреслити.
Якщо, то вірних цифр в числі 5.

Якщо, то вірних цифр в числі 4.

Якщо, то вірних цифр в числі 7.

Якщо то вірних цифр в числі 8.
П ример 6 .1.2-5. Обчислити похибки арифметичних операцій засобами MathCad.

Для оцінки похибок арифметичних операцій слід використовувати наступні твердження: абсолютна похибка алгебраїчної суми (суми або різниці) не перевищує суми абсолютних похибок доданків. Нехай числа і задані з абсолютними похибками і.

^ Обчислимо похибки добутку і частки:


П ример 6.1.2-6. Обчислити похибки функції засобами MathCad.

^ За наведеними початкових умов вважаємо, що похибки рівні

Значення функції одно

6.1.3. Тестові завдання по темі
«Елементи теорії похибок»



  1. Похибка числа - це

  1. ступінь відмінності наближеного значення числа від точного значення

  2. міра неточності числа

  3. міра точності числа

  4. відсоток точності числа


  1. Модуль різниці між точним і наближеним значенням - це

  1. відносна погрішність

  2. абсолютна похибка

  3. точність

  4. в списку немає правильної відповіді


  1. Відносна похибка виражається відношенням

  1. абсолютної похибки до модуля різниці наближеного і точного чисел

  2. модуля наближеного числа до абсолютної похибки

  3. абсолютної похибки до модуля наближеного значення

  4. в списку немає правильної відповіді


  1. Абсолютна похибка числа вимірюється

  1. в частках

  2. в тих же одиницях виміру, що й саме число

  3. в процентах

  4. це безрозмірна величина


  1. Відносна похибка числа вимірюється

  1. це безрозмірна величина

  2. в процентах

  3. у відсотках або частках

  4. в тих же одиницях виміру, що й саме число


  1. Похибка, обумовлена ​​виконанням дій над даними, отриманими з обмеженою точністю, це

  1. похибка округлення

  2. похибка методу

  3. в списку немає правильної відповіді

  4. непереборна похибка


  1. При обчисленні похибки результату складання двох наближених чисел

  1. їх абсолютні похибки віднімаються

  2. їх абсолютні похибки складаються

  3. їх абсолютні похибки поділяються

  4. їх абсолютні похибки перемножуються


  1. При обчисленні похибки результату, отриманого при відніманні з одного наближеного числа іншого

  1. їх абсолютні похибки віднімаються

  2. їх абсолютні похибки поділяються

  3. їх абсолютні похибки складаються

  4. їх абсолютні похибки перемножуються


  1. При обчисленні похибки результату, отриманого при множенні наближених чисел друг на друга,

  1. їх відносні похибки перемножуються

  2. їх відносні похибки віднімаються

  3. їх відносні похибки поділяються

  4. їх відносні похибки складаються


  1. При обчисленні похибки результату, отриманого при зведенні наближеного числа в ступінь,

  1. відносна похибка числа множиться на показник ступеня

  2. відносні похибки числа і показника ступеня перемножуються

  3. відносна похибка числа ділиться на показник ступеня

  4. відносні похибки числа і показника ступеня складаються


  1. Щоб підвищити точність результату обчислень чисельними методами, треба

  1. збільшити величину заданої похибки результату

  2. зменшити величину заданої похибки результату

  3. збільшити кількість ітерацій

  4. в списку немає правильної відповіді


  1. Похибка чисельного рішення задачі визначається

  1. обумовленістю розв'язуваної задачі

  2. похибкою подання дійсних чисел у комп'ютері

  3. чутливістю обчислювального алгоритму до погрішностей округлення

  4. значенням вихідних даних

Схожі статті