Розглянемо систему з двох взаємодіючих один з одним часток. Позначимо силу, з якою друга частка діє на першу, символом F12. а силу, з якою перша частка діє на другу, - символом F21. Відповідно до третього закону Ньютона F12 = -F21.
Припустимо, що сили F12 іF21 мають величину, що залежить тільки від відстані R12 між частинками, і спрямовані вздовж з'єднує частки прямої (наприклад, кулоновское або гравітаційна взаємодія).
При зроблених припущеннях сили F12 іF21 можна представити у вигляді
Вважаючи систему замкнутою (зовнішніх сил немає), напишемо рівняння руху обох частинок:
Ліва частина цього співвідношення є приріст кінетичної енергії системи за час dt. права частина - роботу внутрішніх сил за той же час.
Перетворимо праву частину:
Вираз f (R12) dR12 можна розглядати як приріст функції U (R12), яка представляє потенційну енергію взаємодії:
Отже, елементарна робота, що здійснюються силою взаємодії частинок усередині системи, дорівнює убутку потенційної енергії взаємодії і збільшенню кінетичної енергії системи:
Звідси випливає, що повна енергія Е даної замкнутої системи зберігається: dE = d (T + U) = 0; E = T + U = const
Робота, що здійснюється внутрішніми силами при зміні відстані між частинками від а до b визначається інтегралом:
З останнього виразу випливає незалежність роботи від шляху. Таким чином, сили залежать тільки від відстані між частинками і спрямовані по прямій, що з'єднує частинки, виявилися консервативними.
Потенційну енергію взаємодії двох частинок, при заданій відстані між ними а. можна визначити як роботу, що здійснюються проти сили взаємодії частинок, при переміщенні однієї з них з нескінченності на задану відстань від іншої частинки:
Можна довести, що для системи з N взаємодіючих частинок потенційна енергія взаємодії складається з енергій взаємодії частинок, взятих попарно:
= (Множник 1/2 в останній сумі з'явився тому, що при обраному методі підсумовування - сума енергій взаємодії кожної частинки з усіма іншими - енергія взаємодії кожної пари частинок враховується двічі).
Узагальнюючи попередні результати на систему взаємодіючих частинок, що знаходяться в полі консервативних сил, отримуємо закон збереження повної механічної енергії Е. яка складається з кінетичної енергії Т руху частинок, потенційної енергії Uвз їх взаємодії один з одним і потенційної енергії Uвнешн їх в поле зовнішніх консервативних сил:
Якщо на систему діють неконсерватівние сили (наприклад, тертя), здійснюючи над нею роботу Анеконсерв. то Е2 -Е1 = Анеконсерв