Поняття площі поверхні. Площа бічної і повної поверхні циліндра. Площа бічної і повної поверхні конуса. Площа сфери. Площа частин сфери
- Внутрішньою точкою називається точка фігури, якщо куля з центром в цій точці повністю належить даній фігурі.
- Областю називається фігура, всі крапки якої внутрішні.
- Граничної точкою є точка фігури, якщо куля з центром в цій точці містить точки, що належать цій фігурі, і точки, які не належать їй.
- Замкнутої області називають область разом з її кордоном.
Визначення геометричного тіла і його поверхні:
- Тілом є кінцеве замкнута область.
- Поверхня тіла називається межа тіла.
Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою S = 2pRh. де R - радіус циліндра, h - висота циліндра.
Площа повної поверхні циліндра обчислюється за формулою S = 2pR (R + h). де R - радіус циліндра, h - висота циліндра.
Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою S = p Rl. де R - радіус підстави конуса, l - висота утворює.
Площа повної поверхні конуса обчислюється за формулою S = p R (R + l). де R - радіус підстави конуса, l - висота утворює.
Площа сфери обчислюється за формулою: S = 4pR 2. де R - радіус сфери.
Площа сферичної частини поверхні кульового сектора, тобто кульового сегмента, обчислюється за формулою: S = 2pRh. де R - радіус сфери, h - висота сегмента.
Обсяг циліндра, конуса. Обсяг усіченого конуса. Обсяг кулі, кульового сегмента і сектора
Нехай тіло має заданий обсяг, якщо існують прості тіла, що містять його, і прості тіла, що містяться в ньому, з обсягами, як завгодно мало відрізняються від заданого обсягу.
Обсяг циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту.
Обсяг конуса дорівнює третині добутку площі його основи на висоту.
Обсяг усіченого конуса дорівнює третині добутку висоти конуса на константу π і на суму квадратів радіусів кожної основи і твори радіусів основ конуса.
Тіло обертання називається таке тіло, площинами, перпендикулярними до деякої прямої, називається віссю обертання, перетинається із кіл з центрами на цій прямій.
Загальна формула обсягу тіла обертання така:
Обсяг тіла обертання, розміщеного між паралельними площинами х = а і х = b дорівнює добутку константи π на певний інтеграл від квадрата функції, що обмежує тіло зверху, а кордони інтегрування - числа a і b.
Обсяг кулі визначається за формулою: V = 4/3 pR.
Шаровим сегментом називається частина кулі, відсікається від кулі площиною.
Обсяг кульового сегмента дорівнює: V = ph 2 (R - h / 3).
Шаровим сектором називається тіло, яке отримуємо з кульового сегмента і конуса таким чином: якщо кульової сегмент менше півкулі, то кульовий сегмент доповнюється конусом, у якого вершина в центрі кулі, а основою основа сегмента.
Якщо ж сегмент більше півкулі, то конус з нього виймається. Обсяг кульового сектора отримуємо додаванням або відніманням відповідних сегмента і конуса. Обсяг кульового сектора знаходимо за формулою V = 2 / 3pR 2 h.
Куля і сфера. Взаємне розташування площини і кулі в просторі
Куля - це тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки на однаковій відстані.
Центром кулі дана точка, радіусом кулі називається дане відстань.
Сферою називається поверхню, що складається з усіх точок простору, розташованих на певній відстані від даної точки.
Діаметром кулі є відрізок, що з'єднує дві точки сфери і проходить через центр кулі. Кінці будь-якого діаметру кулі називається діаметрально протилежними точками кулі.
Будь перетин кулі площиною є коло. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.
Будь-яка площина, що проходить через центр кулі, є її площиною симетрії.
Площина, що проходить через центр кулі, називається діаметральної площині. Центр кулі є його центром симетрії.
Площина, відбувається через деяку точку сфери і перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку, має з кулею тільки одну спільну точку - точку дотику.
Пряма, що лежить в дотичній площині до кулі і проходить через точку дотику, є дотичною до кулі в цій точці.
Радіус сфери, проведений в точку дотику сфери з площиною, перпендикулярно до дотичної площини. Якщо радіус сфери перпендикулярно площині, що проходить через його кінець, що лежить на сфері, то ця площину є дотичною до сфери.
Лінія перетину двох сфер є коло.
Багатогранник називається вписаним в кулю, якщо всі його вершини лежать на поверхні кулі.
Багатогранник називається описаним навколо кулі, якщо всі його грані торкаються поверхні кулі.
Центр кулі, описаної навколо правильної піраміди, лежить на її осі.
Зверніть увагу! Якщо в результаті перетину кулі площиною отримали перетин, то він кругом. Відрізок, що з'єднує даний перетин і центр кулі, перпендикулярно площині перетину, і його довжина дорівнює відстані від центру кулі до площини перетину. Відрізок, що з'єднує центр кулі і точку на колі перетину, є радіусом кулі.
Якщо кола двох основ циліндра лежать на деякій сфері, йдеться, що циліндр вписаний в сферу або сфера описана навколо циліндра. Вважають, що сфера вписана в циліндр, якщо примикає його основ, а з бічною поверхнею має одну спільну коло. Чи не в кожен циліндр можна вписати коло.
Якщо вершина конуса і коло його основи лежать на деякій сфері, йдеться, що конус вписаний в сферу, а сфера описана навколо конуса.
Конус. Осьовий переріз конуса. Перетину конуса площинами. Усічений конус. Вписані і описані піраміди і конуси
Конус - це тіло, що складається з кола, точки, що не лежить на площині круга, і відрізків, що з'єднують цю точку з точками кола.
Основою конуса є круг, вершиною конуса є точка, не лежить в площі кола, які утворюють конуса є відрізки, що з'єднують вершину конуса з точками кола основи.
Прямим є конус, у якого пряма, що з'єднує вершину конуса з центром його заснування, перпендикулярна до площини підстави. Висотою конуса є перпендикуляр, опущений з вершини на площу підстави.
Віссю прямого конуса пряма, яка містить його висоту.
Площина, паралельна основі прямого конуса, перетинає конус по колу, а бічну поверхню по колу з центром на осі конуса.
Якщо січна площина проходить через вісь конуса, то його перетин - це трикутник, основа якого дорівнює діаметру підстави конуса, а бічні сторони є утворюють конуса. Такий перетин називається осьовим.
Конус, осьової перетин якого є рівностороннім трикутником. називається рівностороннім конусом. Якщо січна площина проходить через вершину конуса під кутом до площини підстави, то його перетин - це трикутник, основа якого є хордою підстави конуса, а бічні сторони - утворюють конуса.
Якщо січна площина проходить паралельно підставі конуса, то перетин є коло з центром на осі конуса. Така січна площина розсікає конус на дві частини - конус і усічений конус. Кола, що лежать в паралельних площинах цього конуса, - його заснування; відрізок, що з'єднує їх центри, - це висота усіченого конуса.
Пірамідою, вписаною в конус. називається така піраміда, підставу якого є багатокутник, вписаний в коло підстави конуса, а вершиною є вершина конуса. Бічні ребра піраміди, вписаної в конус, є твірними конуса.
Дотичній площиною до конусу називається площину, що проходить через творчу конуса і перпендикулярна площині осьового перерізу, що містить цю творчу.
Пірамідою, описаного навколо конуса, називається піраміда, підставою якої є багатокутник, описаний навколо основи конуса, а вершина збігається з вершиною конуса.
Площині бічних граней описаної піраміди є дотичними площинами до конуса.
Це цікаво . Якщо в геометрії для зображення фігур використовують паралельне проектування, то в живопису, архітектурі, фотографії використовують центральне проектування.
Наприклад, в просторі зафіксовано деяку точку О (центр проектування) і площину α, що не проходить через цю точку. Через точку простору і центр проектування проведена пряма, яка перетинає задану площину в точці, яку називають центральної проекцією точки на площину. Центральне проектування не зроблено зберігає паралельність. Зображення просторових фігур на площині за допомогою центрального проектування називається перспективою. Теорією перспективи займалися художники Леонардо да Вінчі і Альбрехт Дюрер.